【算法模板】数论：裴蜀定理

概念

裴蜀定理（Bézout’s Identity）是数论中的一个重要定理，涉及整数的线性组合。定理陈述如下：

对于任何整数 a 和 b，如果 d 是 a 和 b 的最大公约数，那么存在整数 x 和 y 使得： ax+by=d

换句话说，最大公约数 d 可以表示为 a 和 bbb 的线性组合。

欧几里得算法证明

欧几里得算法是一种用于计算两个整数的最大公约数的算法。我们可以利用这个算法来证明裴蜀定理。

算法步骤：
- 如果 b=0 ，那么 a 就是 a 和 b 的最大公约数。此时 a=d ，且 a⋅1+b⋅0=a。
- 否则，令 r 是 a 除以 b 的余数，即 a=bq+r ，其中 q 是商。然后用欧几里得算法递归地计算 b 和 r 的最大公约数。
证明过程：
- 首先，我们知道 d=gcd⁡(a,b) 也是 d=gcd⁡(b,r) ，因为 r=a−bq 。根据递归过程，我们可以不断减小问题的规模，最终在某一步骤中，我们会得到 r=0 ，此时 b 是最大公约数。
- 在每一步，我们可以记录线性组合的形式。具体来说： r=a−bq 如果我们知道 b 和 r 的最大公约数可以写成： b⋅x1+r⋅y1=d 那么我们可以用 r=a−bq 替换 r： b⋅x1+(a−bq)⋅y1=d 展开并整理得到： a⋅y1+b⋅(x1−qy1)=d 因此，我们可以看到 d 依然是 a 和 b 的线性组合。
详细的证明递归部分：
- 初始情况：如果 b=0 ，则最大公约数 d=a ，且 a⋅1+b⋅0=a ，此时 x=1 和 y=0 。
- 递归情况：使用欧几里得算法得到 a=bq+r ，则 gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b,r) ，我们可以继续应用算法到 b 和 r 。通过递归地应用线性组合，我们最终可以写出最大公约数的形式。

通过这个过程，我们证明了裴蜀定理，即对于任何两个整数 a 和 b，它们的最大公约数 d 总可以表示成它们的某个线性组合形式 ax+by=d 。

推广

对于任意整数 a1,a2,…,an ，如果 d 是这些整数的最大公约数，那么存在整数 x1,x2,…,xn 使得： a1x1+a2x2+⋯+anxn=d

换句话说，多个整数的最大公约数 d 可以表示为这些整数的线性组合。

模板

inline int gcd(int x, int y) { return y ? gcd(y, x % y) : !x; }
int n;
int main() {scanf("%d", &n);int ans = 0, tmp;for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &tmp);if (tmp < 0) tmp = -tmp;ans = gcd(ans, tmp);}printf("%d", ans);
}

模板题

P4549 【模板】裴蜀定理 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

给定一个包含 n 个元素的整数序列 A，记作 A1, A2, A3, …, An。

我们的目标是求另一个包含 n 个元素的待定整数序列 X，其中 S = ∑(Ai × Xi)（i 从 1 到 n）。要求 S > 0 且 S 尽可能的小。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main(){int n;cin>>n;vector<int> v(n);for(int &i:v)cin>>i;int g=v.front();for(int i:v)g=gcd(g,i);cout<<g<<endl;return 0;
}

B-Crash Test_2024牛客暑期多校训练营3 (nowcoder.com)

我们考虑以下碰撞测试的简化版本。最初，汽车的前部朝向墙壁，距离墙壁 D 米。该碰撞测试提供了 n 种助推器，其中第 i 种助推器的推力性能为 h，并且每种类型的助推器都有充足的数量。假设汽车前部和墙壁之间的当前距离为 d，我们使用推力性能为 h 的助推器。当 d≥h 时，汽车将向前移动 h 米，然后停止。否则，汽车将向前移动 d 米，撞到墙上，然后反弹 h−d 米，然后停下来，仍然面向墙壁。

现在，您想知道，通过任意数量的操作（包括无操作），汽车前部和墙壁之间的最小距离是多少？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long longsigned main() {int n,m;cin>>n>>m;vector<int> v(n);for(int &i:v)cin>>i;int g=v.front();for(int i:v)g=gcd(g,i);int x=m/g;cout<<min(m-x*g,(x+1)*g-m);return 0;
}