如何设计递归函数

要学会如何设计递归函数，首先要识别什么样的问题才适合递归函数求解，那么我们可以通过数学归纳法，分析问题，观察问题是否符合相关性质。

数学归纳法

数学归纳法，是一种基本的数学证明方法，通过对于基础情况的验证，假设某种规律存在，通过层次递推，进而证明该规律的一般性。

基本步骤

• STEP1： 验证P(1)是正确的。

• STEP2:： 假设P(K)是正确的，证明P(K + 1)也是正确的。

• STEP3： 联立STEP1和STEP2，证明P(1)到P(N)是正确的。

证明示例

• 证明：$1+3+\dots +(2N-1)=N^2$

  答案：根据数学归纳法的基本步骤：

  ① 验证：P(1) = 1 * 1 = 1;

  ② 假设P(K)成立， 那么P(K + 1) = P(K) + (2(K + 1) - 1) ，展开可以得到，$K^2+2K+1=(K+1{)}^2$
  即：$P(K+1)=(K+1{)}^2$

  ③ 联立①和②当K增加到N时，P(N) = $N^2$

结构归纳法

在代码设计中，数学归纳法也叫做结构归纳法，可以验证对应代码结构的正确性，使用相关方法验证程序正确性，可以减少程序出问题的概率

递归函数设计的三个步骤

• 首先：赋予递归函数一个明确的语义信息
• 其次：实现处于边界条件情况下的代码逻辑
• 最后：假设递归函数执行结果是正确的，实现本层函数逻辑

递归函数设计示例

• 递归求阶乘

  int func(int n) {//首先：赋予递归函数明确的语义信息if (n == 1) return 1;//其次：处理边界条件return func(n - 1) * n;//最后：假设函数调用结果正确，实现本层代码逻辑
  }