【回溯算法】【Python实现】0-1背包

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问题描述
形式化描述

回溯法
时间复杂性
`Python`实现

问题描述

给定 $n$ 种物品和一背包，物品 $i$ 的重量是 $w_{i}$ ，其价值为 $v_{i}$ ，背包的容量为 $c$
如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大

形式化描述

给定 $c > 0$ ， $w_{i} > 0$ ， $v_{i} > 0 (1 \leq i \leq n)$ ，找出一个 $n$ 元 $0 - 1$ 向量 $(x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n})$ ， $x_{i} \in \set{0 , 1} (1 \leq i \leq n)$ ，使得 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i}} \leq c$ ，而且 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{v_{i} x_{i}}$ 达到最大
$0 - 1$ 背包问题是一个特殊的整数规划问题

$\max\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{v_{i} x_{i}} \kern{2em} \begin{cases} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i} \leq c} \\ x_{i} \in \set{0 , 1} (1 \leq i \leq n) \end{cases}$

回溯法

$0 - 1$ 背包问题是子集选取问题，解空间可用子集树表示，解 $0 - 1$ 背包问题的回溯法与解装载问题的回溯法十分相似
在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入其左儿子，当右子树中有可能包含最优解时才进入右子树搜索，否则将右子树剪去
设 $r$ 是当前剩余物品价值总和， $c p$ 是当前价值， $b es tp$ 是当前最优价值，当 $\leq bestp$ 时，可剪去右子树，计算右子树中解的上界的更好方法是，将剩余物品以其重量价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入该物品的一部分而装满背包，由此得到的价值是右子树中解的上界
为了便于计算上界，可先将物品依其单位重量价值从大到小排序，此后只要按顺序考察各物品即可

时间复杂性

计算上界需要 $O (n)$ 时间，在最坏情况下有 $O(2^{n})$ 个右儿子结点需要计算上界
所以解 $0 - 1$ 背包问题的回溯算法所需的计算时间为 $O(n 2^{n})$

`Python`实现

def backtrack_knapsack(values, weights, capacity):n = len(values)# 计算物品的单位重量价值unit_values = [v / w for v, w in zip(values, weights)]# 根据单位重量价值对物品进行降序排序sorted_items = sorted(range(n), key=lambda k: unit_values[k], reverse=True)best_solution = []best_value = 0def constraint(weight):# 约束函数: 检查当前解是否满足容量限制return weight <= capacitydef bound(weight, value, index):# 限界函数: 计算当前解的价值总和加上剩余物品价值作为上界, 用于剪枝bound = valueremaining_capacity = capacity - weightfor item in range(index + 1, n):if remaining_capacity >= weights[sorted_items[item]]:remaining_capacity -= weights[sorted_items[item]]bound += values[sorted_items[item]]else:bound += remaining_capacity * values[sorted_items[item]] / weights[sorted_items[item]]breakreturn bounddef backtrack(solution, weight, value, index):nonlocal best_solution, best_valueif index == n:# 已经遍历完所有物品if value > best_value:# 如果当前解的价值更大, 更新最优解best_solution = solutionbest_value = valuereturn# 尝试选择当前物品weight += weights[sorted_items[index]]value += values[sorted_items[index]]if constraint(weight):# 如果满足约束函数, 继续探索下一个物品backtrack(solution + [1], weight, value, index + 1)# 恢复回溯之前状态weight -= weights[sorted_items[index]]value -= values[sorted_items[index]]# 尝试不选择当前物品if bound(weight, value, index) >= best_value:# 如果当前解的上界仍然可能更好, 继续探索下一个物品backtrack(solution + [0], weight, value, index + 1)backtrack([], 0, 0, 0)return best_solution, best_valuevalues = [60, 100, 120]
weights = [10, 20, 30]
capacity = 50best_solution, best_value = backtrack_knapsack(values, weights, capacity)print(f'最优解: {best_solution}')
print(f'最优值: {best_value}')