DSU on array - 反向操作区间合并

上节我们讲到可以将 DSU 用于数组元素的删除，而有些时候我们删除一个元素时要维护的信息量巨大，那么就可以考虑反向操作。即依次激活每一个元素并合并区间。伪代码如下：

if Active(i) :active[i] = true;if active[i - 1] : merge(i, i - 1);if active[i + 1] : merge(i + 1, i);

适用场景

1. 反向操作、倒序构造 —— 由「删除」变「添加」

正向操作是「删除一个点」—— 破坏区间结构，难以维护。

反向操作是「添加一个点」—— 激活它并与邻接点合并，DSU 能保持区间结构。

因此：

• 将所有操作倒序。

• 初始所有点未被激活。

• 每次添加一个点，更新 DSU.

• 利用 DSU 的段信息倒序回答问题。

适用条件：

• 每次操作对结构影响不可逆或难以正向维护。

• 删除操作逆向后变成容易维护的添加操作。

• 问题允许离线。

2. 维护连续段性质（sum / max / length / 条件计数）

假如题目要求：

• 每个连续 1 段长度是多少？

• 当前所有连续段中最大值是多少？

• 每段的 sum 要维护？

• 是否存在长度为 M 的连续段？

那么可以在 DSU 合并时在根节点维护这些信息。

3. 逐步构造可达性 / 连通区域

有些题出现 “某个条件满足时，该点才可用”，当条件变化时会出现大段的可达区域。

例如：某些区间合并、河流结冰、道路开放类建模。

常用模板

并查集基本操作：

vector<int> fa(n + 1);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);function<int(int)> find = [&](int x) {while (x != fa[x]) x = fa[x] = fa[fa[x]];return x;
};function<void(int, int)> merge = [&](int x, int y) {x = find(x), y = find(y);if (x != y) {fa[y] = x;/* 维护其他信息 */}
};

倒序激活操作：

vector<bool> vis(n + 1); // 记录该点是否被激活
for (int i = n; i >= 1; i -- ) {int pos = p[i]; // 当前激活的是哪一个点vis[pos] = true;/* 根据题目要维护信息 */if (pos + 1 <= n && vis[pos + 1]) { // 合并右区间merge(pos + 1, pos);}if (pos - 1 >= 1 && vis[pos - 1]) { // 合并左区间merge(pos, pos - 1);}/* 根据题目要维护信息 */
}