恰好被k个区间覆盖的点的数量

news/2025/12/10 21:13:46/文章来源:https://www.cnblogs.com/mubai666/p/19333206

1 - 模型描述

在数轴上，有 $n$ 个区间，对于第 $i$ 个区间覆盖的区间为 $[l_i, r_i]$ ，现在你要求出所有 $k \in [1, n]$，恰好被 $k$ 个区间覆盖的点的个数。

2 - 做法

对于模型的描述，很容易想到用差分解决。但是通常题目的数据范围不适合常规差分，如 $1 \leq l_i, r_i, \leq 10^{18}$。因此考虑离散化。用 $map$ 来记录每一个端点的差分值，在读取区间 $[l, r]$ 的时候进行如下操作：

\[event[l]+1, \quad event[r+1]-1 \]

我们用扫描线来扫描出现过的每一个端点，同时使用变量 $sum$ 来记录当前覆盖区间的数量，$last$ 来记录上一个扫描到的端点的位置。

每当我们扫描到一个端点 $i$，我们先更新答案 $ans[sum] = ans[sum] + (i - last)$，再更新当前覆盖区间的数量 $sum = sum + diff[i]$.

3 - 例题 - CF1000C

题目大意：

给你 $n$ 个区间，求被这些区间覆盖层数为 $k$ $(1 \leq k \leq n)$ 的点的个数。

输入格式：

第一行一个整数 $n$ $(n \leq 2∗10^5)$

以下 $n$ 行，每行有两个整数，即这个区间的左右端点 $l,r$ $(0 \leq l \leq r \leq 10^{18})$

输出格式：

$n$ 个整数，即每个被覆盖层数对应的点的个数。

思路：

本题思路与模型处理方式基本一致，即：

对每个区间的端点进行离散化的差分处理。
扫描每一个端点，在加上端点上的差分值的同时维护答案。

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define endl '\n'
#define i64 long longint main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);int n;cin >> n;map<i64, int> event;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {i64 l, r;cin >> l >> r;event[l]++, event[r + 1]--;}i64 sum = 0, last = -1;vector<i64> ans(n + 1);for (auto& [cur, diff] : event) {ans[sum] += cur - last;sum += diff;last = cur;}for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cout << ans[i] << ' ';
}