P3385 【模板】负环 题解

差分约束系统是什么？

差分约束系统指的是一个序列 \(x={x_1,x_2,\cdots x_m}\) 和以如下形式出现的 \(n\) 元一次不等式组。

\[\left\{\begin{matrix} x_{i_1}-x_{j_1}\le c_{k_1}\\x_{i_2}-x_{j_2}\le c_{k_2}\\\vdots\\x_{i_n}-x_{j_n}\le c_{k_n}\end{matrix}\right. \]

---

还是说说前置知识。

P3385 【模板】负环

Description

给你一个 \(n\) 个点的有向图，让你判断图中是否有能从 \(1\) 号点出发可以到达的负环。

负环定义为一条边权和为负的回路。

Solution

思考负环的一些性质。

容易发现负环上一点与任意一点的最短路都不存在，因为你可以跑无数遍负环，边权和会越来越大。我们需要做的是找出一个限度值，如果超过了这个限度值就知道出现了负环。

注意到跑完一次单源最短路最多也就是把所有节点全部入队更新。如果点数为 \(n\)，同一个节点最多只可能入队 \(n-1\) 次。

所以，开一个数组 cnt 记录每个节点入队的次数，如果次数超过 \(n-1\) 就说明有负环。

SPFA 在卡满情况下与朴素 Bellman-Ford 复杂度都为 \(O(nm)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
long long T,n,m,tot,head[2005],dis[2005],cnt[2005];
bool vis[2005];
queue<int>q;
struct node{int from,to,w,nxt;
}e[6005];
inline void add_edge(int u,int v,int w){e[++tot].from=u;e[tot].to=v;e[tot].w=w;e[tot].nxt=head[u];head[u]=tot;return;
}
inline bool SPFA(int s){memset(dis,63,sizeof(dis));dis[s]=0;vis[s]=1;q.push(s);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to,w=e[i].w;if(dis[v]>dis[u]+w){dis[v]=dis[u]+w;if(!vis[v]){cnt[v]++;if(cnt[v]>=n){return 1;}vis[v]=1;q.push(v);}}}}return 0;
}
signed main(){cin>>T;while(T--){tot=0;memset(head,0,sizeof(head));memset(e,0,sizeof(e));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(cnt,0,sizeof(cnt));while(!q.empty()){q.pop();}cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;if(w>=0){add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);}else{add_edge(u,v,w);}}if(SPFA(1)){cout<<"YES"<<endl;}else{cout<<"NO"<<endl;}}return 0;
}