P5304 [GXOI/GZOI2019] 旅行者 题解

P5304 [GXOI/GZOI2019] 旅行者

Description

给你一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的有向连通图，给出 \(k\) 个点的编号，让你求出这些点中距离最近的两点之间距离。

\(n\le 10^5,m\le 5\times 10^5\)。

Solution

这题是一个十分经典的 trick —— 二进制分组。

大概的思路类似于有源汇网络流，即建立一个超级源点和超级汇点，跑最短路。具体来说，把 \(k\) 个结点随机分到两个集合 \(s\) 和 \(t\) 中，用一个 bool 数组来记录这 \(k\) 个点，如果编号为 \(i\) 的点在 \(s\) 中记为 \(0\)，在 \(t\) 中记为 \(1\)。

由于这个图是有向图，所以先从超级源点向所有 \(s\) 中的点连边，从 \(t\) 中的所有点向 \(t\) 连边跑 \(\log n\) 次最短路，再反过来跑 \(\log n\) 次最短路，最后所有最短路的最小值即为答案。

时间复杂度 \(O(Tn\log n\log k)\)，可以通过。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
long long T,n,m,k,a[500005],ans;
priority_queue<pair<int,int>>q;
struct graph{long long tot,head[500005],id[500005],dis[500005];struct node{int from,to,w,nxt;}e[500005];inline void init(){tot=0;memset(head,0,sizeof(head));return;}inline void add(int u,int v,int w){e[++tot].from=u;e[tot].to=v;e[tot].w=w;e[tot].nxt=head[u];head[u]=tot;return;}inline void dijkstra(){for(int i=1;i<=500000;i++){dis[i]=LONG_LONG_MAX;id[i]=0;}for(int i=1;i<=k;i++){dis[a[i]]=0;id[a[i]]=a[i];q.push(make_pair(0,a[i]));}while(!q.empty()){int u=q.top().second;int d=-q.top().first;q.pop();if(d==dis[u]){for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to,w=e[i].w;if(dis[v]>d+w){dis[v]=d+w;id[v]=id[u];q.push(make_pair(-dis[v],v));}}}}return;}
}G[2];
signed main(){cin>>T;while(T--){cin>>n>>m>>k;G[0].init();G[1].init();for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;if(u^v){G[0].add(u,v,w);G[1].add(v,u,w);}}for(int i=1;i<=k;i++){cin>>a[i];}G[0].dijkstra();G[1].dijkstra();ans=LONG_LONG_MAX;for(int u=1;u<=n;u++){for(int i=G[0].head[u];i;i=G[0].e[i].nxt){int v=G[0].e[i].to;int w=G[0].e[i].w;if(G[0].id[u]&&G[1].id[v]&&G[0].id[u]^G[1].id[v]){ans=min(ans,G[0].dis[u]+G[1].dis[v]+w);}}}cout<<ans<<endl;}return 0;
}