杂题选记

记录一些我觉得比较有意思的题目。难度差异可能会很大。

书信

给一个字符串 \(S\)，对于 \(S\) 中的每一类字符，可以选择一个区间 \([l,r]\) 保留，保留的字母间相对顺序不变。

每一个位置有权值 \(w_i\)。

求将 \(S\) 变为 \(T\) 的同时最小化删去位置的权值和。

解题思路

首先考虑刻画字母删除和保留。一个字母可以删除，则其前面/后面没有选择的相同字母。我们发现这个可以通过对 \(T\) 的匹配位数 \(j\) 来刻画。

于是设 \(f_{i,j}\) 表示 \(S[1,i]\) 匹配上 \(T[1,j]\) 的最小代价。

通过预处理，我们可以得知 \(L_c\) 和 \(R_c\) 表示 \(c\) 在 \(T\) 中出现的最前/最后位置。考虑当还没有用上 \(c\)（\(j<L_c\)）和已经用完 \(c\)（\(j \geq R_c\)）时可以删去 \(c\)。

于是转移：

\[\begin{array}{c} [j+1 < L_{s[i+1]}+1 \vee j+1 > R_{s[i+1]}]: f_{i,j}+w_{i+1} \to f_{i+1,j} \\ [S_{i+1}=T_{j+1}]: f_{i,j} \to f_{i+1,j+1} \end{array} \]

可以获得 \(30 pts\)。

考虑优化。可以发现第一个转移只和 \(j\) 以及 \(s[i+1]\)（具体的字母）有关。启发我们按照转移一的成立对 \(j\) 分组。具体来说，就是将所有的 \(L_c\)，\(R_c+1\) 作为分界线，这样同一个段内的所有 \(j\) 对于相同的 \(c\) 的转移情况就是相同的了。

这样一共会分出 \(O(|\Sigma|)\) 个段。

同时，我们注意到段内的 \(j\) 向 \(j+1\) 的转移中，\(f_{i,j}+w_{i+1} \to f_{i+1,j}\) 和 \(f_{i,j} \to f_{i+1,j+1}\) 不同时成立。也即从 \((i,j_{1})\) 到 \((?,j_{k})\) 的转移路径是唯一的。我们只要把那些 \(f_{i,j} \to f_{i+1,j+1}\) 的位置提出来，用字符串哈希判断转移路径是否可行即可。

时间复杂度就是 \(O(Tn|\Sigma|)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define fin(x) freopen(#x".in","r",stdin)
#define fout(x) freopen(#x".out","w",stdout)
#define file(x) (fin(x),fout(x),0)
using namespace std;
int My_File_IO=file(letter);
const int inf=1e16;
int n,m;
char s[200005],t[200005];
int w[200005],sumw;
namespace Hash{using ull=unsigned long long;using ui=__uint128_t;const ull mod=(1ull<<61)-1;const int bse=114514;inline ull pls(ull x,ull y){return (x+y>=mod?x+y-mod:x+y);}inline ull sub(ull x,ull y){return (x<y?x+mod-y:x-y);}inline ull mul(ull x,ull y){ui r=ui(x)*y;return pls(r>>61,r&mod);}ull fpow(ull a,ull b=mod-2){ull r=1;while(b){if(b&1)r=mul(r,a);a=mul(a,a);b>>=1;}return r;}ull pw[200005],ipw[200005];void init(){for(int i=pw[0]=1;i<=200000;i++)pw[i]=mul(pw[i-1],bse);ipw[200000]=fpow(pw[200000]);for(int i=199999;i>=0;i--)ipw[i]=mul(ipw[i+1],bse);}template<int siz>struct hsa{int usecnt;ull h[siz+1];void load(char *s,int n){for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=pls(mul(h[i-1],bse),s[i]);usecnt=n;}void join(char s){usecnt++;h[usecnt]=pls(mul(h[usecnt-1],bse),s);}void cls(){usecnt=0;}ull cut(int l,int r){return sub(h[r],mul(h[l-1],pw[r-l+1]));}};
}
using Hash::hsa;
hsa<200005> hs,tmphs;
int fj[150],tot;
int f[200005];
int mn[30],mx[30];
void tmain(){cin>>n>>m>>(s+1)>>(t+1);for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i],sumw+=w[i];hs.load(t,m);tot=sumw=0;for(int c=0;c<26;c++){mn[c]=m+1,mx[c]=0;for(int i=1;i<=m;i++)if(t[i]=='a'+c)mn[c]=min(mn[c],i),mx[c]=max(mx[c],i);if(mn[c]==m+1)continue;fj[++tot]=mn[c];fj[++tot]=mx[c]+1;}fj[++tot]=1;fj[++tot]=m+1;// for(int i=1;i<=m+1;i++)fj[++tot]=i;sort(fj+1,fj+1+tot);tot=unique(fj+1,fj+1+tot)-fj-1;f[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=inf;for(int j=1;j<tot;j++){static int g[200005];fill(g,g+1+n,inf);for(int i=0;i<n;i++){if(fj[j]<mn[s[i+1]-'a']+1||fj[j]>mx[s[i+1]-'a'])f[i+1]=min(f[i+1],f[i]+w[i+1]);if(s[i+1]==t[fj[j]])g[i+1]=min(g[i+1],f[i]);}memcpy(f,g,(n+1)*sizeof(int));if(fj[j+1]==fj[j]+1)continue;tmphs.cls();int ct=fj[j+1]-fj[j]-1;static int sw[200005],ok[30],crs[200005];int tn=0;fill(g,g+1+n,inf);memcpy(sw,w,(n+1)*sizeof(int));memset(ok,0,sizeof ok);for(int c=0;c<26;c++)if(fj[j]<mn[c]||mx[c]<fj[j])ok[c]=1;for(int i=1;i<=n;i++)if(!ok[s[i]-'a'])sw[i]=0,crs[++tn]=i,tmphs.join(s[i]);for(int i=1;i<=n;i++)sw[i]+=sw[i-1];for(int i=0,ptr=1;i<n;i++){if(crs[ptr]<=i)ptr++;if(ptr+ct-1>tn)break;if(tmphs.cut(ptr,ptr+ct-1)!=hs.cut(fj[j]+1,fj[j+1]-1))continue;g[crs[ptr+ct-1]]=min(g[crs[ptr+ct-1]],f[i]+sw[crs[ptr+ct-1]]-sw[i]);}memcpy(f,g,(n+1)*sizeof(int));}for(int i=0;i<n;i++)f[i+1]=min(f[i+1],f[i]+w[i+1]);cout<<(f[n]>=inf?-1:f[n])<<'\n';
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);Hash::init();int tid,t;cin>>tid>>t;while(t--)tmain();
}