一、递归的介绍
递归的概念：递归是指函数直接或间接调用自身的过程。
递归的两个关键要素：
- 基本情况(递归终止条件)：递归函数中的一个条件，当满足该条件时，递归终止，避免无限递归。可以理解为直接解决极小规模问题的方法。
- 递归表达式(递归调用)：递归函数中的语句，用于解决规模更小的子问题，再将子问题的答案合并成为当前问题的答案。
二、递归的实现
递归函数的基本结构如下：
返回类型 函数名(参数列表){//基本情况(递扫终止条件if(满足终止条件){ //返回终止条件下的结果}//递归表达式(递归调用)else{//将问题分解为规模更小的子问题//使用递扫用解决子问题//返回子问题的结果}
}
实现过程：
- 将大问题分解为规模更小的子问题。
- 使用递归调用解决每个子问题。
- 通过递归终止条件来结束递归。
设计时需注意的细节：
- 确保递归一定能到递归出口，避免无限递归，这可能导致TLE(超时),MLE(超内存)或RE(运行错误)。
- 考虑边界条件，有时候递归出口不止一个。
- 避免不必要的重复计算，尽可能优化递归函数的性能。
三、递归与循环的比较
递归的特点：
1 直观，简洁，易于理解和实现。
2 适用于问题的规模可以通过递归调用不断减小的情况。
3 可以处理复杂的数据结构和算法，如树和图的遍历。
4 存在栈溢出风险(栈空间一般只有8MB，所以递归层数不宜过深，一般不超过
1e6层) 。
循环的特点
1 直接控制流程，效率较高。
2 适用于问题的规模没有明显的缩减，或者需要特定的迭代次数。
3 适合处理大部分的动态规划问题
在部分情况下，递归和循环可以相互转化。
四、递归-汉诺塔问题
首先，我们先明确一下题目条件：有三根杆子，我们称它们为 A、B、C。一开始，所有的盘子都放在 A 杆 上，从大到小、从下往上堆叠。
目标：把所有盘子从 A 杆 移到 C 杆，
并且：一次只能移动一个盘子；大盘子不能放在小盘子上面。
汉诺塔之所以适合用递归来解决，是因为它可以层层分解成相同形式的子问题。
【题目拆解】
我们想象一下：如果有 N 个盘子，我们可以把它分成两组：
最底下的第 N 个盘子（最大的那个）；上面的 N-1 个盘子。
那么，移动 N 个盘子的过程，可以分解为三个大步骤：先把上面的 N-1 个盘子从 A 移到 B（此时 C 作为辅助杆）；再把最大的那个盘子从 A 移到 C；最后把 B 上的 N-1 个盘子从 B 移到 C（此时 A 作为辅助杆）。
这样一来，移动 N 个盘子的问题就变成了两次移动 N-1 个盘子的问题，再加上一次直接移动最大盘的操作。
【递归函数设计】
我们可以定义一个函数：
void hanoi(char A, char B, char C, int n);
它的意思也就是说：借助 B 杆，把 A 杆上的 n 个盘子移动到 C 杆。
那么我们接下来递归的实现就更加直观了：
void hanoi(char A, char B, char C, int n) {if (n == 1) {// 只有一个盘子时，直接移动sing_move(A, C, n);return;}// 1. 把上面 n-1 个从 A 移到 B（C 作为辅助）hanoi(A, C, B, n - 1);// 2. 把最大的盘子从 A 移到 Csing_move(A, C, n);// 3. 把 B 上的 n-1 个盘子从 B 移到 C（A 作为辅助）hanoi(B, A, C, n - 1);
}
然后这里的 sing_move(A, C, n) 我们可以把它理解为打印一步移动操作，比如 "A → C"。
五、递归四要点
- 终止条件：当 n == 1 时，直接移动，递归结束。
- 最小单元：一个盘子的移动是基本操作。
- 递归关系：
- 移动 n 个盘子 = 移动 n-1 个盘子 + 1 步 + 移动 n-1 个盘子。
- 如果用 f(n) 表示移动 n 个盘子的步数，那么：
f(n) = f(n-1) + 1 + f(n-1) = 2 * f(n-1) + 1
已知 f(1) = 1，可以推出 f(n) = 2^n - 1。
4.不要深究递归过程：我们只需要相信 hanoi(A, B, C, n-1) 能正确完成任务，而不需要一步步跟踪它内部怎么移动的。
