题⽬描述
求 1+2+3+...+n ，要求不能使⽤乘除法、 for 、 while 、 if 、 else 、 switch 、 case 等关键字及条件判断语句（ A?B:C ）。
示例
输⼊：5
输出：15
思路及解答
用for循环
这个问题，如果直接使⽤ for 循环，超级简单，重拳出击，时间复杂度为 O(n) 。代码如下：
public class Solution {public int Sum_Solution(int n) {int sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {sum += i;}return sum;}
}
可是上⾯的明显违反了使⽤for 循环的原则
乘除法
试试公式法， 1+2+3+...+(n-1)+n = n * (n+1)/2 ,
public class Solution {public int Sum_Solution(int n) {if (n >= 0) {return n * (n + 1) / 2;}return 0;}
}
但是上⾯的做法，同样是使⽤乘法，也违反了原则，那么要不使⽤循环，也不适⽤乘法，怎么做呢？
递归
递归可以模拟出循环，⼏乎所有的for 循环操作，都可以以递归的⽅式实现。每⼀次递归，我们让n 减少1 ，直到减少为0 。
public class Solution {public int Sum_Solution(int n) {if (n >= 0) {return n + Sum_Solution(n - 1);}return 0;}
}
- 时间复杂度为O(n)
- 空间复杂度也是O(n)
位运算乘法
位运算乘法法：通过位运算实现乘法操作
思路：将n(n+1)用位运算实现，然后右移1位代替除以2
public class Solution {public int sum(int n) {// 计算n*(n+1) using bit manipulationint result = multiply(n, n + 1);// 右移1位相当于除以2return result >> 1;}/*** 位运算实现乘法：利用俄罗斯农民算法* 原理：a * b = (a << i)的和，其中i对应b中为1的位*/private int multiply(int a, int b) {int result = 0;// 当a不为0时继续循环while (a != 0) {// 如果a的最低位是1，则加上对应的b值if ((a & 1) != 0) {result += b;}// a右移1位，b左移1位a >>= 1;b <<= 1;}return result;}// 无循环的位运算乘法版本（符合要求）public int sumNoLoop(int n) {int res = multi(n, n + 1);return res >> 1;}private int multi(int a, int b) {int res = 0;// 通过多个位判断代替循环res += ((a & 1) == 1) ? b : 0;a >>= 1;b <<= 1;res += ((a & 1) == 1) ? b : 0;a >>= 1; b <<= 1;// 继续处理更多位...（根据n的范围确定需要处理的位数）return res;}
}
- 时间复杂度：O(log n) - 取决于数字的位数
- 空间复杂度：O(1)
案例解析：
计算 13 × 9:
13 = 1101(二进制)
9 = 1001(二进制)13 × 9 = 13 × (1 + 0 + 0 + 1) 按位展开= (13<<0) + (13<<3) 对应9中为1的位= 13 + 104 = 117
