洛谷 P8189

洛谷 P8189

有 \(n\) 个礼物分配给 \(n\) 个人，第 \(i\) 个人原本拥有第 \(i\) 个礼物，每个人都要一个喜欢程度的列表，现在他们可以交换礼物，但每个人最后得到的礼物的喜欢程度不能低于原本的礼物。

\(T\) 组询问，每组询问将 \(n\) 个人分成两组，两组独立的交换，问有几种分配方式。

\(n \le 18, T \le 10^5\)

不难发现这个交换方式一定是形成了若干个环。具体一点，如果第 \(p_i\) 个礼物最后在第 \(i\) 个人手里，那么有一条 \((p_i, i)\) 的有向边，第 \(i\) 个礼物需要给下一个人。

有一个比较显然的状压 DP，令 \(dp(S)\) 表示集合 \(S\) 内的人与 \(S\) 对应的礼物对应的方案数。（例如第 \(1, 3\) 个人与第 \(1, 3\) 个礼物配对）转移显然可以枚举子集，\(dp(S) = dp(S') \cdot f(S \cap S')\)。其中 \(f(S)\) 表示 \(S\) 中的元素能形成多少种环？

于是就只用求 \(f(S)\) 了。我们将这个环断开，以 \(\min \{S\}\) 为开头形成一条链，令 \(g(S, i)\) 表示 \(S\) 内的元素形成一条以 \(\min \{ S\}\) 为开头，\(i\) 为结尾的链。只用检查一下能否把两端相连即可。

时间复杂度：\(O(3^n)\)。应该可以使用子集卷积之类的东西优化，详情可以看看题解。

注意为了不算重，可以强制令 \(\min \{ S \}\) 不在 \(S'\) 内，而在 \(f\) 的环内。

思路还是比较顺畅，根据需要的东西一步一步分解问题，设计状态转移即可。