在 “Attention Is All You Need” 这篇论文中，我们了解了注意力机制的三个关键矩阵：Q (Query)、K (Key) 和 V (Value)。
在标准的注意力计算流程中，核心步骤包括计算注意力得分矩阵 \(S=QK^T\) 以及 Softmax 后的概率矩阵 \(P\)。当序列长度 \(R\) 很大时，这些 中间结果（\(S\) 和 \(P\) 矩阵） 的维度高达 \((R,R)\)，需要占用巨大的显存空间。
传统的实现方式必须频繁地在 GPU 高速缓存 (SRAM) 与 GPU 显存 (HBM) 之间读写这些巨大的中间矩阵。当矩阵规模扩大时，GPU 的计算能力实际上被 显存带宽（Memory Bandwidth） 限制，导致 GPU 单元大部分时间处于空闲等待状态，无法充分发挥其计算潜能。
为了解决这一瓶颈，FlashAttention 论文提出了一种方法。该方法不同于传统计算方法，设计该方法时是基于 IO 带宽受限这一前提，利用 Tiling（分块） 技术计算输出矩阵 \(O\)，并在 SRAM 上不需要中间结果 \(S\) 和 \(P\) 矩阵就能完成 Softmax 归一化。这种方法能够极大程度地降低对 HBM 的访问次数，从而显著提升 GPU 的计算效率和速度。
硬件性能分析
GPU 存储层次
跟 CPU 存储层次类似，在 GPU 中也存在不同的存储介质，不同的介质之间的访问速度以及容量有着巨大的差距，这里不再过多赘述：
两种计算操作
计算密集：程序运行时，GPU 处于满负荷工作状态的时间占据程序运行的绝大部分，这类程序主要受限于计算吞吐量，不会频繁大量的访问显存。典型应用为大矩阵乘法和多通道卷积计算。
访存密集：程序运行时需要频繁大量的访问显存，GPU 出现频繁的空等，导致 GPU 的计算资源被浪费，典型应用为如元素操作（激活函数、Dropout）以及归约化操作（求和、softmax、批归一化、层归一化）。
传统 Attention 实现
Attention 计算有三个关键矩阵，分别是 \(Q\), \(K\), \(V\) \(\in \mathbb{R}^{N \times d}\) ，其中 \(N\) 是输入序列的长度，\(d\) 是头维度，我们想使用以上三个矩阵计算出输出矩阵 \(O \in \mathbb{R} ^ {N \times d}\) ：
在上面的公式中有两个中间变量，分别是 \(S\) 和 \(P\)，每次生成这两个中间变量时都需要向显存中存储，之后计算下一步时再将其从显存中取出，但是最后这两个中间变量的值对我们又没有什么用。并且这两个中间变量矩阵非常庞大（\(S,P \in \mathbb{R}^{N \times N}\)，\(N\) 的维度非常高，比如在 GPT 2 中，\(N\) = 1024），对显存的频繁大量访问将 Attention 操作变为了访存密集型程序，GPU 的算力资源被大大浪费了。
| 步骤 | 操作描述 (Operation) | 内存操作 (I/O) | 中间结果 |
|---|---|---|---|
| 1 | 加载 \(Q\) 和 \(K\) 分块，计算得分矩阵 \(S = QK^T\)。 | 读 (HBM) \(Q, K\) 分块，写 (HBM) \(S\) | \(S\) |
| 2 | 读取 \(S\)，计算概率矩阵 \(P = \text{softmax}(S)\)。 | 读 (HBM) \(S\)，写 (HBM) \(P\) | \(P\) |
| 3 | 加载 \(P\) 和 \(V\) 分块，计算输出矩阵 \(O = PV\)。 | 读 (HBM) \(P, V\) 分块，写 (HBM) \(O\) | \(O\) |
| 4 | 返回 \(O\)。 | - | - |
FlashAttention 核心思想
FlashAttention 旨在将 \(QK^T\)、Softmax 和 \(PV\) 三个步骤融合 (Fusion) 为一个 I/O 感知的操作，从而在 SRAM 上在线完成计算，避免将中间结果写入 HBM。
由于 SRAM 容量有限，无法加载全部 \(Q,K,V\) 矩阵，该方法利用 Tiling（分块） 技术，将大矩阵分解成小块，逐次加载进 SRAM 中进行计算，并将结果矩阵 \(O\) 一部分写回 HBM。
对于矩阵乘法 \(S=QK^T\) 和 \(O=PV\)，利用现有的分块乘法即可处理。然而，对于 \(P=softmax(S)\) 来说，由于 Softmax 固有的全局依赖性（必须看到输入 \(S\) 矩阵的每一行（对应一个 \(Q\) Token）的全部值才能正确计算归一化分母）。因此，如何在这种分块限制下保证 Softmax 的正确性，才是 FlashAttention 解决问题的核心挑战。
稳定 Softmax 算法
在 Softmax 分块计算之前先介绍一下 Numercally Stable Softmax 算法。
原始 Softmax 的定义如下：
目前常用的 FP16、FP32 浮点数格式所能表示的最大值分别是\(3.4 \times 10^{38}\) 和 \(65504\)，当 \(x^i\) 比较大时，\(e^{x_i}\) 就会溢出，无法被正确表示。而当 \(x_i\) 比较小时，\(e^{x_i}\) 将会非常接近 0，则 \(Softmax(x)_i\) 将会出现除 0 下溢错误。
在指数函数中存在一种特性称为平移不变性，考虑这个公式：
将分子分母同除一个常数 \(C=e^c\)：
因此，我们可以根据 Softmax 的平移不变性这一特性对原始公式进行改造：首先，获取输入向量 \(x\) 中的最大值 \(m(x)\)，然后将 Softmax 公式的分子和分母都除以 \(e^{m(x)}\)，这确保了 Softmax 的值保持不变。在这一缩放操作过程中，由于分子 \(e^{x_i}\) 中的 \(x_i\) 减去了 \(m(x)\)，因此所有的分子项 \(e^{x_i}−m(x)\) 都将维持在一个 \((0,1]\) 的安全区间内，从而彻底消除了指数运算产生上溢的风险。同时，分母由所有这些分子项相加得到，并且其中至少存在一项 \(e^{{m(x)}−x_i=0}\) 等于 1，这使得分母能够保证大于等于 1，有效避免了分母为零导致的下溢问题。
完整公式如下：
Softmax 分块计算
现在有两个向量\(x^{(1)}, x^{(2)}\) ，将这两个向量拼接成一个向量 \(x=[x^{(1)}, x^{(2)}] \in \mathbb{R}^{2B}\)，有以下公式：
对于第二个公式来说：
对于 \(f(x)\) 来说，并不像 \(m(x)\) 能够直接由 \(x^{(1)} \quad x^{(2)}\) 拼接而来，这是因为 \(f(x^{(1)})\) 和 \(f(x^{(2)})\) 的缩放基准分别为 \(m(x^{(1)})\) 和 \(m(x^{(2)})\)，而非全局最大值 \(m(x)\)。为了将缩放基准转换为 \(m(x)\)，需要找到一个合适的缩放因子 \(C_1\)，使得 \(f(x^{(1)}) \cdot C_1 = e^{x^{(1)}-m(x)}\)。解一下这个方程，得出 \(C_{1} = e^{m(x^{(1)})-m(x)}\)，同样的，得出 \(C_{2} = e^{m(x^{(2)})-m(x)}\)，然后将这两个缩放因子与 \(f(x^{(1)})\) 和 \(f(x^{(2)})\) 相乘，得出整个 \(f(x)=[e^{m(x^{(1)})-m(x)}f(x^{(1)}) \quad e^{m(x^{(2)})-m(x)}f(x^{(2)})]\)。
我们再利用相反的思路来考虑这个问题，\(m(x)\) 肯定等于 \(m(x^{(1)})\) 或 \(m(x^{(1)})\)，我们就假设 \(m(x)=m(x^{(2)})\)，则 \(f(x)\) 的第二项就只剩 \(f(x^{(2)})\) 了，将第一项展开为 \(e^{m(x^{(1)})-m(x)}e^{x^{(1)}-m(x^{(1)})}=e^{x^{(1)}-m(x)}=e^{x^{(1)}-m(x^{(2)})}\)，由此，我们成功地将两个 Softmax 分子项 \(f(x^{(1))})\) 和 \(f(x^{(2)})\) 都转换到了统一的、以 \(m(x^{(2)})=m(x)\) 为基准的数值空间。
对于公式 \((3)\) 来说，其原理与公式 \((2)\) 一致。
逐步更新
存在向量 \(x\)，\(x = [x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(N)}]\)
假设当前已经处理了前 \(k-1\) 块，得到了：
- 当前全局最大值： \(m^{(k-1)}\)
- 当前全局归一化项： \(\ell^{(k-1)}\)
现在处理新块 \(k\)，它有： - 局部最大值： \(m_k\)
- 局部归一化项：\(\ell_k\)
然后更新全局最大值 \(m^{(k)}\) 与全局归一化因子 \(l^{(k)}\)
FlashAttention 算法伪代码
输入：
- 矩阵 \(Q, K, V ∈ \mathbb{R}^{N×d}\)（存放在 HBM）
- 片上 SRAM 容量 \(M\)
1. 设置分块大小
- \(B_c = \lceil \frac {M} {4d}\rceil\)
- \(B_r = min(\lceil {\frac {M} {4d}} \rceil, d)\)
2. 初始化（存于 HBM）
- \(O = 0_{N×d}\)
- \(\ell = 0_{N}\)
- \(m = -\infty_{N}\)
3. 分块
- 将 \(Q\) 按行划分为
\(T_r = \lceil \frac {N} {B_r} \rceil\)
得到块：\(Q_1 … Q_{T_r}\)，每块大小 \(B_r × d\) - 将 \(K, V\) 按列划分为
\(T_c = \lceil \frac {N} {B_c} \rceil\)
得到：\(K_1 … K_{T_c}\)、\(V_1 … V_{T_c}\)，每块大小 \({B_c × d}\) - 输出及辅助变量对应分成：
\(O_i, \ell_i, m_i\)（大小分别为 \(B_r × d\)、\(B_r\)、\(Br\)）
4. 主循环
一些自己的理解
分块大小的选择
为什么要这样选择分块大小？
- \(B_c = \lceil \frac {M} {4d}\rceil\)
- \(B_r = min(\lceil {\frac {M} {4d}} \rceil, d)\)
这是因为 FlashAttention 的一次计算要在 GPU 的 SRAM 中至少存放四个矩阵：\(Q_{i}, K_{i}, V_{i} ,O_{i}\)
这四个矩阵总大小为：\(2B_{c}d+ 2B_rd\)。
在 FlashAttention 的设计策略倾向于一半的 SRAM 分配给 \(K/V\)，一半给 \(Q/O\)。
假设 \(B_r\) 与 \(B_c\) 近似，则四个矩阵总大小为：\(4B_{r}d \approx 4B_{r}d\)。
为了保证这四个矩阵能够同时放入 SRAM，需要满足 \(B_{r} \leq \frac {M} {4d}\)，而对于 \(B_r\) 的另一个值 \(d\) 来说，这是因为在计算 softmax 的时候，如果某行变得太大，则会降低计算效率。
主循环更新 \(O_i\) 操作
\(diag()\)函数为对角矩阵构造函数，该函数能够将一个向量转换为一个对角矩阵。
将\(O_i = diag(\ell^{new}_i)^{-1}(diag(\ell_i)e^{m_i - m^{new}_i}O_i+ e^{\tilde{m}_{ij} - m^{new}_i} \tilde{P}_{ij}V_j)\)拆分为三部分：
- Part1: \(diag(\ell_i)e^{m_i - m^{new}_i}O_i\)
- Part2: \(e^{\tilde{m}_{ij} - m^{new}_i} \tilde{P}_{ij}V_j\)
- Part3: \(diag(\ell^{new}_i)\)
因此整个公式可以简化为：\(O_{i}= \frac {Part1 + Part2} {Part3}\)
现在理解一下为什么要这样做，对于 Part1 来说，\(diag(\ell_i)O_i\) 操作在恢复旧的总和（\(\ell_i\)是旧的归一化常数），\(diag(\ell_i)e^{m_i - m^{new}_i}O_i\)再用新的归一化常数计算以新的 \(m^{new}_i\)为基准的旧总和；Part 2 是计算当前块 \(K_j,V_j\) 的贡献项。它是将基于局部最大值 \(\tilde{m}_{ij}\)** 算出的加权总和 \(\tilde{P}_{ij}\)，通过乘以指数校正因子 \(e^{\tilde{m}_{ij}-m^{new}_i}\)，平移校正为以新的全局最大值 \(m^{new}_i\) 为基准的贡献总和；Part3 作为新旧总和相加得到的新的全局总和的分母，也就是全局归一化常数 \(\ell^{new}_i\)。
经过以上操作，新的 \(O_i\) 就被计算出来了。
通俗类比：计算班级平均分
为了理解这个操作，我们可以想象你在计算一个不断有新学生进入的班级的平均分。
- \(O_i\) (旧输出)：相当于 “A组学生的平均分”。
- \(\ell_i\) (旧分母)：相当于 “A组学生的人数”。
- 新数据：相当于 “B组学生的总分”。
- 目标：计算 A组 + B组 的总平均分。
现在不能直接把“A组平均分”和“B组平均分”加起来除以2。必须这样做：
- 反归一化（还原总分）：
A组总分=A组平均分×A组人数
(对应公式中的 \(diag(\ell_i)O_i\)) - 合并：
全班总分=A组总分+B组总分
(对应公式中的括号内相加) - 重归一化（算新平均）：
新平均分=全班总人数全班总分
(对应公式中的 \({diag(\ell^{new_i})^{−1}}\))
FlashAttention 的公式就是在做这个“加权平均更新”，只不过它多了一个步骤：因为它处理的是指数函数 (\(e^x\))，所以还需要处理 \({m_i}\) 变化带来的“指数缩放修正”。
