割点和桥

前置知识

无向图的连通性，主要研究割点和桥。

基础定义

• 割点：在无向图中，删去后使得连通分量数增加的点称为 割点。形式化地，对于一个无向连通图 \(G = (V,E)\)，存在一个点 \(x \in V\)，使删除与 \(x\) 相关联的边后，图分裂成两个或两个以上的不连通的子图，称 \(x\) 即为图 \(G\) 的割点。

• 桥：在无向图中，删去后使得连通分量数增加的边称为 割边，也称 桥。形式化地，对于一个无向连通图 \(G = (V,E)\)，存在一条边 \(e \in E\)，若 \(G - e\) 不连通，则称 \(e\) 即为图 \(G\) 的桥。

根据割点和桥的定义，孤立点 和 孤立边的两个端点 都不是割点，孤立边是桥。

延伸定义

• 点双连通图：不存在割点的无向图称为 点双连通图。结合上述分析，孤立点和孤立边均为点双连通图。

• 边双连通图：不存在割边的无向图称为 边双连通图。结合上述分析，孤立点是边双连通图，但孤立边不是边双连通图。

• 点双连通分量：一张图的极大点双连通子图称为 点双连通分量，简称 点双。

• 边双连通分量：一张图的极大边双连通子图称为 边双连通分量，简称 边双。

点双和边双缩点后均得到一棵树，而强连通分量缩点后得到一张有向无环图。

笔者在本文中只讨论如何求解割点与桥，在往后的学习中再作补充。

Tarjan 求割点

不加证明地给出用 割点判定法则，读者画图不难理解：

1. 若 \(v\) 是非根结点 \(u\) 的子结点，且 \(low[v] \geq dfn[u]\)，则 \(u\) 是割点；

2. 若根节点 \(u\) 在搜索树中至少有 \(2\) 棵子树，则 \(u\) 是割点。

注意：割点判定法则须谨记对于 \(u\) 是否为根结点的讨论。

模版题 代码如下，使用 Tarjan 算法求无向图 \(G\) 的所有割点的时间复杂度为 \(O(n + m)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 8;
int n, m, dfn[N], low[N], tim, ans, root;
bool cut[N]; // 记录该点是否为割点
vector<int> e[N];
void Tarjan(int u) {dfn[u] = low[u] = ++tim;bool flag = false; // u是否为割点int cld = 0; // u的儿子个数for (int v : e[u]) {if (!dfn[v]) {Tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);cld++;if (low[v] >= dfn[u]) flag = true; // 符合判定1} else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if (u == root && cld < 2) flag = false; // 不符合判定2if (flag) ans++, cut[u] = true;
}
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {cin >> u >> v;e[u].push_back(v); e[v].push_back(u);}for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) root = i, Tarjan(i);cout << ans << '\n';for (int i = 1; i <= n; i++) if (cut[i]) cout << i << ' ';return 0;
}

Tarjan 求桥

使用 Tarjan 算法求桥的时间复杂度为 \(O(n + m)\)，但需要特别注意是否有重边。

无重边

同样不加证明地给出 桥的判定法则，读者可以画图理解两者的差别：

若 \(v\) 是点 \(u\) 的子结点，且 \(low[v] > dfn[u]\)，则边 \(e = (u, v)\) 是桥。

对比割点判定法则，没有等号的原因为：删去的是边而非结点，所以只要子树内的结点能绕过 \(e\) ，到达包括 \(u\) 在内的子树外结点，那么 \(e\) 就是割边。

代码如下。

void Tarjan(int u, int f) {dfn[u] = low[u] = ++tim;for (int v : e[u]) {if (v == f) continue;if (!dfn[v]) {Tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u]) ans++; // 割边的数目加1} else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}
}

有重边

Tarjan 求桥有个细节，就是判断非树边。对于当前边 \(v \rightarrow u\)，若 \(u\) 是 \(v\) 的父亲，则跳过这条边。

但这样做在有重边时会出现错误，原因是算法会将重边也判定为非树边。

解决方法是记录边的编号。对于 vector，在 push_back 时将当前边的编号一并压入。

代码如下。

int n, m, dfn[N], low[N], tim;
bool bri[M]; // 是否为桥
vector<pair<int, int> > e[N]; // pair.first记录结点编号，pair.second记录边编号
void Tarjan(int u, int p) {dfn[u] = low[u] = ++tim;for (auto [v, i] : e[u]) {if (p == i) continue; // p记录上一条边的编号if (!dfn[v]) {Tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u]) bri[i] = true;} else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}
}

例题

Blockade

首先对第 \(i\) 个结点讨论。

如果第 \(i\) 个点不是割点，那么原图只分为孤点 \(i\) 和剩余 \((n - 1)\) 个点所构成的连通块。由于要求有序点对，所以共有 \(2 * (n - 1)\) 对。

如果第 \(i\) 个点不是割点，那么原图分为孤点 \(i\) 和 \(k\) 个连通块，设第 \(j\) 个连通块的大小为 \(sz[j]\)，约定“\(a\) 在前”意即在有序数对 \((a,b)\) 中的 \(a\) 位置。对于点 \(i\) 的 \((k-1)\) 棵子树在前，共有 \(\sum \limits_ {j = 1} ^ {k - 1} sz[j] * (n - sz[j])\) 对；对于割点 \(i\) 在前，共有 \((n-1)\) 对；设除割点 \(i\) 及被拆出的子树中的点共有 \(sum\) 个。对于除上述情况外的点，共有 \(sum * (n - sum)\) 对。

最后实现时按照上述分析维护即可，注意要开 long long。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 8;
int n, m, tim, dfn[N], low[N], ans[N], sz[N];
vector<int> e[N];
void Tarjan(int u, int f) {dfn[u] = low[u] = ++tim;sz[u] = 1;int chi = 0, sum = n - 1;bool flag = false;for (int v : e[u]) {if (v == f) continue;if (!dfn[v]) {Tarjan(v, u);chi++;low[u] = min(low[u], low[v]);sz[u] += sz[v];if (low[v] >= dfn[u]) {sum -= sz[v];ans[u] += sz[v] * (n - sz[v]);flag = true;}} else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if (u == 1 && chi < 2) flag = false;if (!flag) ans[u] = 2 * (n - 1);else ans[u] += n - 1 + sum * (n - sum);
}
signed main() {cin >> n >> m;for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {cin >> u >> v;e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);}Tarjan(1, 0);for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << '\n';return 0;
}

分离的路径

题目相当于要求添加最少得边使原图变成一个边双连通图。换句话说，图中所有点的度数至少为 \(2\)。考虑度数为 \(1\) 的点，显然它们应至少连 \(1\) 条边。贪心地，每条边都连接 \(2\) 个度数均为 \(1\) 的点的策略是最优的。如果度数为 \(1\) 的点的个数是奇数，那么仍要多连 \(1\) 条边才能符合题意。

结论：最小路径数为边双缩点得到的缩点树 \(T\) 的叶子结点个数除以 \(2\) 向上取整。

一个比较简单的实现方法是：先 Tarjan 找出所有桥，再 DFS 找出所有边双连通分量，最后统计边双连接的桥的数目为 \(1\) 的个数即可。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e3 + 8, M = 1e4 + 8;
int n, m, dfn[N], low[N], tim, ans, res;
bool bri[M], vis[N];
vector<pair<int, int> > e[N];
void Tarjan(int u, int p) { // 找出所有桥dfn[u] = low[u] = ++tim;for (auto [v, i] : e[u]) {if (p == i) continue;if (!dfn[v]) {Tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u]) bri[i] = true;} else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}
}
void dfs(int u) { // 找出所有边双if (vis[u]) return;vis[u] = true;for (auto [v, i] : e[u]) {if (bri[i]) {res++;continue;}dfs(v);}
}
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {cin >> u >> v;e[u].push_back({v, i});e[v].push_back({u, i});}Tarjan(1, 0);for (int i = 1; i <= n; i++)if (!vis[i]) { res = 0;dfs(i);if (res == 1) ans++; // 若边双只有一条桥，则它是缩点树的叶子结点}cout << (ans + 1) / 2;return 0;
}

嗅探器

类比 Tarjan 求割点的过程，若割点 \(u\) 非根 \(a\) 且子树根 \(v\) 的时间戳小于等于终点 \(b\) 的时间戳，则 \(b\) 在 \(v\) 的子树内，所以 \(u\) 点即所求的嗅探器安装位置。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 8;
int n, a, b, dfn[N], low[N], tim, ans = 1e9;
vector<int> e[N];
void Tarjan(int u) {dfn[u] = low[u] = ++tim;bool flag = false;int cld = 0;for (int v : e[u]) {if (!dfn[v]) {Tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);cld++;if (low[v] >= dfn[u] && u != a && dfn[b] >= dfn[v]) flag = true;} else low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if (flag) ans = min(ans, u);
}
int main() {cin >> n;int u, v;while (cin >> u >> v) {if (u == 0 && v == 0) break;e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);}cin >> a >> b;Tarjan(a);if (ans != 1e9) cout << ans;else cout << "No solution";return 0;
}