笔记包括2025年秋学期该课程的知识点
不包含高中物理中有的一些常见知识点
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Idealized Models 理想模型
为了研究最重要的性质而建立的比现实简单的模型，如研究物体下落轨迹时会忽略其形状
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Physical Quantities 物理量
用于定量描述物理现象的任何数字都称为物理量，一般使用公制单位(SI)
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Significant Figures 有效数字
一个测量量中可靠已知的位数，不包括用于定位小数点的所有零
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Vector Product 向量积 \(A\times B\)
\(|A\times B|=|A|\ |B|sin\theta\)
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Displacement 位移；Distance 距离
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Velocity 速度；Speed 速率
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Instantaneous Acceleration 瞬时加速度
\(a=lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
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加速度、速度、位移之间的关系
\(v_t=v_0+\int_0^t a_xdt,x_t=x_0+\int_0^t v_xdt\)
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Projectile Motion 斜抛运动
\(x=x_0+v_{0x}t,y=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2\)
若起始点(0,0)，则\(y=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x-\frac g{2v^2_{0x}}x^2=(tan\theta_0)x-\frac g{2v^2_0cos^2\theta_0}x^2\)；\(y_{max}=\frac{v^2_0sin^2\theta_0}{2g}\)；\(x_{max}=\frac{v^2_0sin\ 2\theta_0}g\)
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Uniform Circular Motion 匀速圆周运动
- Radial/Centripetal Direction 径向
- Tangential Direction 切向
Centripetal Acceleration 向心加速度：\(a_c=\frac{v^2}r\)(数值上)
Period 周期：\(T=\frac{2\pi r}v\)
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Relative Velocity 相对速度
令\(v_{A/B}\)为A以B为参考系的速度，则\(v_{p/B}=v_{p/A}+v_{A/B}\)
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常见的麦克劳林级数得记一下
\[\begin{align} (1+x)^k&=1+kx+\frac{k(k-1)x^2}{2!}+\cdots,|x|<1\\ \frac1{1+x}&=1-x+x^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^nx^n,|x|<1\\ ln(1+x)&=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots=\sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1}\frac{x^n}n,-1\leq x\leq 1\\ e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^n}{n!},x\in \mathbb R\\ sin\ x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in \mathbb R\\ cos\ x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!},x\in \mathbb R\\ \end{align} \] -
几种常见的力
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Gravitational Force 重力
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Normal Force 法向力：物体与它接触的另一物体表面之间，垂直于接触面的支撑力
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Frictional Force 摩擦力
摩擦力的大小：
- 静(Static)摩擦：\(f_{s\ max}=\mu_sF_N\)，其中\(\mu_s\)是静摩擦系数
- 滑动(Kinetic)摩擦：\(f_k=\mu_kF_N\)，其中\(\mu_k\)是动摩擦系数
一般来说\(\mu_s>\mu_k\)，方便起见有时直接取相同的值
低速小物体在流体中运动时，阻力\(f\approx kv\)，其中\(k\)是常量
速度上去之后，阻力\(f\approx \frac12 C\rho Av^2\)，其中\(C\)是试验确定的常量(一般为0.4~1)，\(A\)是有效横截面积
例：
Assignment2-8(b)
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String Tension 绳中的张力：绳索两端被拉紧时内部产生的一种拉向两端的力，方向始终沿着绳索，指向绳子连接点的两端
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Contact Force 接触力：物体与物体表面直接接触时产生的力，包括法向力和摩擦力等
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粒子间的作用方式
粒子间通常通过交换介导粒子(Mediating Particles)来相互作用
- 四种基本相互作用
- Gravitational Interaction 引力相互作用
- Electromagnetic Interaction 电磁相互作用：通过光子的交换实现
- Weak Interaction：亚核粒子之间通过交换W和Z玻色子(W and Z Bosons)实现，现代被视为与电磁相互作用统一，称为电弱相互作用(Electroweak Interaction)
- Strong Interaction：强子(Hadrons)之间的相互作用，通过强子之间介子(Mesons)或夸克(Quarks)之间胶子(Gluons)的交换实现。强子由夸克组成
- 四种基本相互作用
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牛顿三定律
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第一定律：无外力作用的物体会保持静止(At Rest Relative)或匀速直线运动，也称惯性(Inertia)定律
该定律成立的参考系被称为惯性参考系，只有在惯性参考系中该定律成立
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第二定律：物体加速度与作用在其上的净外力成正比，\(F=ma\)
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第三定律：两个物体相互作用时，向彼此施加的力大小相等、方向相反
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功：功是力矢量和位移矢量的点积
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动能：\(W=\frac12mv^2\)
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机械能守恒
- Conservative Forces 保守力：让动能和势能之间进行双向转换的力，如重力、弹簧力、静电力
- Non-conservative Forces 非保守力：会使机械能耗散或损失的力，如摩擦力、空气阻力
除了保守力做功外没有其它力做功的的物理过程中，系统的机械能，也就是动能、重力势能(Gravitational Potential Energy)、弹性(Elastic)势能之和守恒，即\(E=\frac12mv^2+mgy+\frac12kx^2\)
例：
Assignment3-10(c)
核心：构建一个只含两个变量的方程，其中一个是要计算的那个，分离变量并两边积分
\[\begin{align} m\frac{dv}{dt} &= -mg - kv^2\\ m v \frac{dv}{dy} &= -mg - kv^2\\ dy &= \frac{mv}{-mg-kv^2}dv\\ \int_0^{y_{max}} dy &= \int_{v_0}^0 \frac{-mv}{mg+kv^2}dv\\ &= \int_0^{v_0} \frac{mv}{mg+kv^2}dv\\ y_{max} &= \frac{m}{2k} \int_{mg}^{mg+kv_0^2} \frac{du}{u}\\ &= \frac{m}{2k} [\ln|u|]_{mg}^{mg+kv_0^2}\\ &= \frac{m}{2k} (\ln(mg+kv_0^2) - \ln(mg))\\ &= \frac{m}{2k} \ln(\frac{mg+kv_0^2}{mg})\\ &= \frac{m}{2k} \ln(1 + \frac{kv_0^2}{mg})\\ \end{align} \] -
Momentum and Impulse 动量和冲量
动量\(\vec P=m\vec v\)
冲量\(\vec J\equiv\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{net}dt=\vec{P_2}-\vec{P_1}\)
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Conservation of Momentum 动量守恒
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内力和外力
- Internal Force 内力：系统中各物体之间相互作用的力
- External Force 外力：系统中物体受到外界物体施加的力
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Isolated System 孤立系统：没有外力、不受外界影响的系统
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Principle of Conservation of Momentum 动量守恒定律：一个孤立系统内的总动量守恒
比机械能守恒的使用场景更广泛，因为机械能守恒要求没有非保守力，而动量守恒不要求
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Center of Mass 系统的重心
若系统中第\(i\)个物体的位置向量是\(\vec{r_i}\)，则重心\(\vec{r_{cm}}=\frac{\sum m_i\vec{r_i}}{\sum m_i}\)
因此系统总动量\(\vec P=\sum m_i\vec{v_i}=M\vec{v_{cm}}\)
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Collisions 物体之间的碰撞
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分类
- Elastic Collision 弹性碰撞：碰撞前后物体动能总量不变的碰撞
- Complete Inelastic Collision 完全非弹性碰撞：碰撞后物体粘在一起，变成一个物体，且动量守恒；这种情况下损失的动能最大
- Inelastic Collision 非弹性碰撞：其他类型的碰撞，既损失了动能，也没有变成一个物体
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弹性碰撞后的速度公式(假设B的初始速度\(v_B=0\)，向右为速度正方向，A从左侧撞击B)
通过联立动能不变和动量守恒两个公式得到
\[\begin{align} v'_A=\frac{m_A-m_B}{m_A+m_B}v_A\\ v'_B=\frac{2m_A}{m_A+m_B}v_A \end{align} \]
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Rocket Propulsion 火箭推进的原理
火箭通过向后喷射气体实现推进，两者理想情况下满足动量守恒
不考虑重力的情况下，令向上为速度正方向，火箭速度为\(v\)，气体和火箭相对速度为\(v_{ex}\)，气体速度\(v-v_{ex}\)。极短时间内可以认为火箭受力不变(可以类比为一个人在一段很短的时间内向后扔了一个球，我们要计算的就是这段时间内人收到的平均反作用力)，令这段时间内排出气体质量为\(dm\)，火箭剩余部分质量为\(M\)，则根据这个过程前后系统动量守恒，有\(M(v+dv)+dm(v-v_{ex})=(M+dx)v\Rightarrow Mdv=dmv_{ex}=-dMv_{ex}\Rightarrow dv=-v_{ex}\frac{dM}M\)，两边同时积分得\(\int_{v_1}^{v_2}dv=-v_{ex}\int_{M_1}^{M_2}\frac{dM}{M}\)，解得：一段时间内，\(v_2=v_1+v_{ex}ln\frac{M_1}{M_2}\)，一瞬间的推力\(F_{thrust}=Ma=M\frac{dv}{dt}=v_{ex}\frac{dM}{dt}\)(这里的\(dM\)是取绝对值的，之前公式中是负的)
若考虑重力，则有\(v_2=v_1+v_{ex}ln\frac{M_1}{M_2}-gt\)
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Rotation 旋转相关
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Rigid Bodies 刚体：形状和大小不变的物体，现实中不存在这种物体，但很多情况下可以近似看作刚体
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Angular Velocity 角速度：物体单位时间内旋转的弧度，是向量。遵循右手法则，若四指方向为旋转方向，则拇指方向为角速度方向。线速度\(\vec v=\vec\omega\times\vec r\)，求导可以得到\(d\vec r(t)=d\vec\theta\times\vec r\)。刚体中各点的角速度相同
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Angular Acceleration 角加速度(标量形式)：\(\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}\)
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Polar Coordinate System 极坐标系
对于绕轴做圆周运动的一个质点，在其运动中的任何一个状态，都可以以其为原点定义一个笛卡尔坐标系来方便运动的分析，称为极坐标系(与微积分II中介绍的定义不同)。其坐标轴上的单位向量如果用以旋转中心为原点的笛卡尔坐标系中的坐标表示，分别为：\(\hat r=<cos\theta,sin\theta,0>,\hat\theta=<-sin\theta,cos\theta,0>,\hat k=<0,0,1>\)。容易发现，前两个是会随着质点的旋转而改变的。
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Energy in Rotation Motion
若将一个刚体视为若干个极小的质点的组合，第i个质点距旋转轴的距离为\(r_i\)，则这个刚体的动能为\(K=\frac12\sum m_iv^2_i=\frac12I\omega^2\)，其中\(I=\sum m_ir^2_i\)，被称为转动惯量(Rotational Inertia/Moment of Inertia)，可以描述改变一个物体旋转状态的难易程度
实心均匀球体的转动惯量公式是\(I=\frac25MR^2\)，空心均匀球壳的转动惯量公式是\(I=\frac23MR^2\)，实心均匀圆柱体的转动惯量公式是\(I=\frac12MR^2\)，空心均匀圆柱壳的转动惯量公式是\(I=MR^2\)，均匀细棒绕垂直于棒且通过棒一端的轴的转动惯量公式是\(I=\frac13ML^2\)，均匀细棒绕垂直于棒且通过棒中点的轴的转动惯量公式是\(I=\frac1{12}ML^2\)。这些公式可以通过积分推导得到
- Parallel-Axis Theorem 平行轴定理：令\(I_{cm}\)为刚体绕着一条通过质心且与\(x\)平行的轴的转动惯量，\(d\)为这条轴到\(x\)的距离，则有\(I_x=I_{cm}+Md^2\)。无论这个刚体是三维的还是被视为二维平面图形，都可以使用这个定理
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Torque 力矩
用于衡量一个力对一个物体旋转状态的改变能力
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定义
力矩是针对物体上的一个点(旋转中心)而言的。由该点向力作用的直线作垂线，令其为\(\vec r\)，则力矩\(\vec\tau=\vec r\times\vec F\)，是一个矢量，方向可以由右手定则确定：四指指向力使得物体旋转的方向，则拇指方向是力矩的方向。标量形态：\(|\tau|=F|\vec r|\)，其正负号取决于力使物体绕该点旋转的方向(一般规定逆时针为正方向)
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力矩和角加速度的关系
旋转轴确定(这里确定指被外力固定，比如风扇被固定在其轴上)的情况下，令\(F\)为施加的力在垂直于旋转轴的平面上的分量，\(I\)为物体绕该轴的转动惯量，则\(\tau=Fr=mar=mr^2\alpha=I\alpha\)
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做功的量
力矩做功\(W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau d\theta=\int dt\omega\ I\alpha=I\int\omega d\omega=\frac12I\Delta(\omega^2)\)，其中\(\theta\)为物体绕旋转轴转过的角度
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平移和旋转的同时进行
比如地球绕太阳旋转，同时地球本身也在绕自己的轴旋转
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此时可以任意取一个点\(R\)(注：这个点不一定要在旋转轴上)，将刚体上任意一点的运动分解为平移和旋转两部分：\(\vec v_i=\vec v_R+\vec\omega\times\vec r_i\)，其中\(\vec r_i\)是刚体上质点\(i\)相对于点\(R\)的位置矢量，\(\vec v_R\)是点\(R\)的速度。注意，不管这个点如何选择，刚体旋转的角速度\(\vec\omega\)都是唯一的
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Instant Center 瞬心
运动过程中，刚体或其延伸体上总有一些点在某一时刻的瞬时速度为零，这些点构成一条直线(瞬时传动轴)，它们被称为瞬心。取一个瞬心作为参考点\(R\)，则刚体上任意一点的速度\(\vec v_i=\vec\omega\times\vec r_i\)，其中\(\vec r_i\)是刚体上质点\(i\)相对于瞬心的位置矢量。令\(I_1\)为刚体绕瞬时传动轴的转动惯量，则动能\(K=\frac12I_1\omega^2=\frac12(I_{cm}+MR^2)\omega^2=\frac12Mv^2_{cm}+\frac12I_{cm}\omega^2\)，其中\(R\)为质心到瞬时传动轴的距离，也就是说一个刚体的动能永远等于\(\frac12Mv^2_{cm}+\frac12I_{cm}\omega^2\)
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刚体在外力作用下运动状态改变方式的具体分析
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平移
\(M\vec a_{cm}=\sum \vec F\)
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旋转
\(\sum\vec\tau_z=I_{cm}\vec\alpha_{cm}\)，其中\(z\)为实际旋转轴方向(它与瞬时传动轴和\(\vec\omega\)都平行)，\(\vec\tau_z\)为力矩在\(z\)方向的分量，\(I_{cm}\)为刚体绕通过质心且与实际旋转轴平行的轴(称为质心轴)的转动惯量，\(\vec\alpha_{cm}\)为刚体绕质心轴的角加速度
该公式的适用范围：实际旋转轴静止且穿过质心 或 质心轴运动时方向不改变且质心轴是刚体的对称轴
技巧：无滑动\(\to a=\alpha R\)
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Angular Momentum 角动量
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定义和性质
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对于一个参考点而言，刚体上一个质点的角动量为\(\vec L_i=\vec r_i\times m_i\vec v_i\)，其中\(\vec r_i\)是质点\(i\)相对于参考点的位置矢量；其总角动量是\(\sum \vec L_i\)。对这个质点来说，\(\frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau\)，其中\(\vec\tau\)为作用在该质点上的力矩
角动量的标量形式为\(L=I\omega\)
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\(\vec L=\sum \vec r_i\times m_i\vec v_i=\sum(\vec r_i-\vec r_{cm})\times m_i\vec v_i+\vec r_{cm}\times\sum m_i\vec v_i=\vec L_{cm}+\vec r_{cm}\times\vec P\)，其中\(P=\sum m_i\vec v_i\)。这个公式描述了刚体总角动量可以分解为绕质心的角动量和质心相对于参考点的角动量之和。一般提到“刚体的角动量”时，指的是绕质心的角动量
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\(\vec L_{cm}\)不一定和\(\vec\omega\)同向
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Conservation of Angular Momentum 角动量守恒
当作用在刚体上的相对某参考点的总外力矩为0时，刚体的相对同一参考点的角动量不变
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Gyroscope 陀螺仪
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刚体的三种旋转自由度
- Rotation/Spin 转动/自转：绕通过质心的某一轴旋转
- Precession 进动：自转轴绕着另一根轴旋转，如地球自转轴绕着太阳公转轴旋转
- Nutation 章动：自转轴在进动的基础上做周期性摆动，即自转轴和进动轴之间的夹角发生周期性变化
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Cyroscope 关于陀螺仪
是如图所示的一个高速旋转的圆盘，它的角动量可以近似视为水平且无限大
由于\(\frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau\)，且重力产生的\(\vec\tau\)指向垂直于\(\vec L\)的侧面，因此陀螺仪的自转轴会绕垂直于重力方向的轴旋转，这种现象称为进动。进动的角速度\(\Omega=\frac{\tau}{L}=\frac{MgR}{I\omega}\)
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Equilibrium 平衡
系统运动状态和内部能量状态不随时间变化的状态。对简单机械体来说，即线加速度和角加速度都为0(\(\sum\vec F=0\)，绕任意点\(\sum\vec\tau=0\))
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Stabic/Dynamical Equilibrium：若物体静止则为前者，否则为后者
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Stable/Unstable Equilibrium 稳定/不稳定平衡：在能量图中对应于势能极小/极大的位置
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Elasticity 弹性
我们知道可以用胡克定律来描述弹簧的弹力和形变之间的关系。现实中固体材料都不是刚体，胡克定律可以推广到描述它们的弹性形变
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应力和应变
- Stress 应力：物体单位面积上受到的力
- Strain 应变：物体形变的程度，定义为物体长度的变化量与原始长度之比
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Elastic Modulus 弹性模量
对同一材料，应力(单位为帕)和应变(无单位)在较小时通常成正比，这个比例称为弹性模量
应力可以是拉伸的，压缩的等，不同的应力对应不同的弹性模量
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Bulk Modulus 体积模量
类似弹性模量，但是对液体而言的。定义为施加的压强与相对体积变化量之比的相反数，\(B=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V_0}\)
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Shear Modulus 剪切模量
类似前两者，专门用于处理固体剪切应力和剪切应变之间关系的弹性模量，定义为剪切应力与剪切应变之比，\(S=\frac{F/A}{\Delta x/h}\)，其中\(h\)为物体高度，\(\Delta x\)为物体顶部相对于底部的水平位移
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应力和应变较大时，二者不再成正比，此时材料的弹性性质变得复杂，行为如图：
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Gravitation 重力
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Newton’s Law of Gravitation 牛顿万有引力定律
两个物体之间的万有引力\(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\)，方向沿着两物体连线；\(G\)为万有引力常量，数值为\(6.67\times10^{-11}N\cdot m^2/kg^2\)
- 球壳定理：对于球对称的物体，计算万有引力时可以将其视为一个质点，位于其质心处
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Gravitational Potential Energy 重力势能
若定义势能在无穷远处为0，则两个物体之间的重力势能\(U=-G\frac{m_1m_2}{r}\)
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Escape Velocity 逃逸速度
物体从另一物体表面脱离其引力束缚所需的最小速度，此时其动能与需要克服的重力势能相等。\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}R}\)，其中\(M\)为被脱离物体的质量，\(R\)为被脱离物体的半径
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开普勒三定律
- 行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
- 太阳到一颗行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
- 行星绕太阳公转的周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，\(T^2\propto a^3\)，\(T=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a^{\frac32}\)，其中\(M\)为太阳质量，\(a\)为轨道半长轴
例：Assignment9-10
求一颗绕质量为\(m_S\)的太阳做椭圆轨道运动的行星在近日点处的速度\(v_P\)和在远日点处的速度\(v_A\)。设轨道半长轴为\(a\)，离心率\(e\)。
则有周期为\(T=\frac{2\pi}{\sqrt{Gm_S}}a^{\frac32}\)，椭圆面积为\(A=\pi ab=\pi a^2\sqrt{1-e^2}\)，其中\(b=a\sqrt{1-e^2}\)为半短轴。则单位时间内扫过的面积为\(\frac AT=\frac{\sqrt{Gm_S a(1-e^2)}}2\)。又因为在近日点处，太阳到行星的连线与速度\(v_P\)垂直，因此有\(v_P r_P=2\times \frac At\)，其中\(r_P=a(1-e)\)为近日点到太阳的距离，解得\(v_P=\sqrt{\frac{Gm_S(1+e)}{a(1-e)}}\)。同理，在远日点处，有\(v_A r_A=2\times \frac At\)，其中\(r_A=a(1+e)\)为远日点到太阳的距离，解得\(v_A=\sqrt{\frac{Gm_S(1-e)}{a(1+e)}}\)
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Black Hole 黑洞
逃逸速度等于光速的天体称为黑洞，其半径称为史瓦西半径(Schwarzschild Radius)，\(R_s=\frac{2GM}{c^2}\)，其中\(c\)为光速。半径为\(R_s\)的这个球面称为事件视界(Event Horizon)，任何物质和辐射一旦进入事件视界就无法逃脱黑洞的引力束缚
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Fluids 流体
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Pressure 压强
压强单位为帕(Pa)，\(1Pa=1N/m^2\)。有时也使用bar，\(1bar=10^5Pa\)。一个大气压力(1 atm)约等于\(1.013\times10^5Pa\)
- 深度为\(h\)的流体产生的压强\(p=p_0+\rho gh\)，其中\(p_0\)为流体表面的压强，\(\rho\)为流体密度。\(\rho gh\)也称为表压(Gauge Pressure)
- Pascal's Law：作用在封闭流体上的压强会均匀地传递到流体的各个部分，压强在流体内部的所有位置和方向都存在
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Buoyancy 浮力
流体对浸没在其中的物体施加一个向上的浮力，大小等于物体排开流体的重量，\(B=\rho gV\)，其中\(\rho\)为流体密度，\(V\)为物体排开流体的体积
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Fluid in Motion 流体运动
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仅讨论理想流体的运动。理想流体有以下性质：
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Steady 稳定性：流体整体流动模式不随时间变化，比如水龙头打开后，水流的形态不随时间变化
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Incompressible 不可压缩性：流体密度在流动过程中保持不变
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Nonviscous 无粘性：流体内部没有摩擦力(也称为粘滞力，Viscosity)
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Irrotational 无旋性：流体中没有旋涡，只考虑线性(Linear)运动
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Bernoulli’s Equation 伯努利方程
这部分有点抽象，多看几遍吧
同一流体中一条流线(流体中任意时刻速度方向相同的点连成的曲线)上所有点满足伯努利方程：\(p+\frac12\rho v^2+\rho gh=C\)(伯努利常数)。理想流体中，所有流线上的所有点均满足该等式。在流动的液体中，把压力计的探头对着流动方向插入液体，测得的值为\(p+\frac12\rho v^2\)(总压)；把压力计的探头侧向插入液体，测得的值为\(p\)
等式中各项的含义：
- \(p\)：静压(Static Pressure)，流体对容器壁或物体表面施加的压强。如果一个气体容器与大气相通，我们可以认为大气中的气体与容器内的气体存在一个隐形的边界，此时容器内气体的静压等于大气压
- \(\rho gh\)：流体自身在不同高度上，因自身重量所产生的压强差，是一个相对的概念。h是高度，不是深度
根据该公式可以推导出托里拆利定律：流体从一个开口容器中流出时，流体在开口处的速度\(v=\sqrt{2gh}\)，其中\(h\)为容器内流体表面到开口处的高度差
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Oscillation 振动
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Harmonic Oscillation 简谐运动
物体在直线上来回振动的运动称为振动。当物体所受的回复力与其位移成正比且方向相反时，物体做简谐振动。
简谐振动有\(A\)和\(k\)两个参数，\(A\)为振幅，\(k\)为力常数，物体距离平衡点的位移为\(x\)时，回复力\(F=-kx\)。此时\(x=Acos(\omega t+\theta),v=\frac{dx}{dt}=-\omega Asin(\omega t+\theta)=\pm \omega\sqrt{A^2-x^2},a=\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2Acos(\omega t+\theta)\)。简谐振动的周期\(T=2\pi\sqrt{\frac mk}\)，频率\(f=\frac 1T\)。其中\(\omega\)代表角频率，\(\omega=2\pi f=\sqrt{\frac k m}\)
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Simple Pendulum 单摆
令摆线与垂直的夹角为\(\phi\)，当\(\phi\)很小时，摆锤收到的水平拉力\(=-mg\sin\phi\approx-mg\phi\)，位移\(x=L\phi\)，则有\(F=-mg\frac xL\)，与简谐振动形式一致，因此单摆在小角度摆动时可以近似看作简谐振动，其周期\(T=2\pi\sqrt{\frac Lg}\)，角速度\(\omega=\sqrt{\frac gL}\)
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Physical Pendulum 物理摆
一个绕固定轴旋转摆动的刚体，小幅度摆动时类似单摆。单摆是所有质量集中于一点的理想化的物理摆。对于物理摆，令转动惯量为\(I\)，质心到旋转轴的距离为\(d\)，有\(\omega=\sqrt\frac{mgd}{I},T=2\pi\sqrt\frac{I}{mgd}\)
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Torsional Oscillator 扭摆
一个圆盘被挂在一条细线上，当扭转这个圆盘到角度\(\phi\)时，细线会产生一个回复力矩\(\tau=-\kappa\phi\)，因此角加速度\(\alpha=\frac{-\kappa\phi}{I}\)，角频率\(\omega=\sqrt{\frac\kappa I}\)，周期\(T=2\pi\sqrt{\frac I\kappa}\)
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Damped Oscillation 阻尼振动
如果振动过程中有阻力(如单摆受到空气阻力)，振幅就会不断减小，这种振动称为阻尼振动
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令任意时刻总受力\(F=-kx-bv_x\)，经过推导，可以得出\(x(t)=A_0e^{-\frac b{2m}}cos(\omega t+\theta )\)。同时，令无阻尼时的角频率为\(\omega_0=\sqrt{\frac k m}\)，则有\(\omega^2=\omega_0^2[1-(\frac b{2m\omega_0})^2]\)。从该公式看出，若\(b=2m\omega_0\)，此时\(\omega=0\)，物体不会振动(会快速返回平衡位置)，称为临界阻尼(Critical Damping)；若\(b>2m\omega_0\)，则\(\omega\)为虚数，物体也不会振动(会缓慢返回平衡位置)，称为过阻尼(Over Damping)；若\(b<2m\omega_0\)，则\(\omega\)为实数，物体会振动，称为欠阻尼(Under Damping)
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阻尼振动中，机械能随时间衰减，\(\frac{dE}{dt}=-bv_x^2\)
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Q Factor 品质因数
当\(b<<2m\omega_0\)时，能量衰减极其缓慢。我们知道单摆中平均动能是总机械能的一半，在\(b<<2m\omega_0\)时也大致如此。因此，\(\frac{dE}{dt}=-bv_x^2\approx -\frac bm E \to \frac{dE}E=-\frac bm dt\)，积分后得到\(E=E_0e^{-\frac{bt}m}=E_0e^{-\frac t\tau}\)，其中\(\tau=\frac m b\)为Energy Decay Time Constant。由于\(\frac{dE}E=-\frac bm dt\)，一个周期内\(\frac{\Delta E}{E}\approx \frac bm T\approx \frac bm \frac{2\pi}{\omega_0}\)。定义品质因数\(Q\equiv 2\pi\frac{Energy\ Stored}{Energy\ Lost\ per\ Cycle}=\frac{m\omega_0}b\)，则有\(\frac{\Delta E}E\approx \frac{2\pi}Q\)，即每经过一个周期，机械能衰减\(\frac{2\pi}Q\)。因此，品质因数越大，阻尼越小
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Driven Oscillation 受迫振动
在阻尼振动的基础上，再加一个驱动力，现在的总受力为\(F=-kx-bv_x+F_0cos(\omega_{d}t)\)，其中\(F_0\)为驱动力幅值，\(\omega_d\)为驱动力角频率(是固定的)。经过推导，可以得出\(x(t)=A_0e^{-\frac{b}{2m}}cos(\omega t+\theta)+A_dcos(\omega_dt-\theta_d)\)，其中\(A_d=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_d^2)^2+(\frac{b\omega_d}m)^2}}\)，\(\tan\theta_d=\frac{b\omega_d/m}{\omega_0^2-\omega_d^2}\)。可以看出，经过一段时间后，阻尼振动部分会衰减到0，物体最终会以驱动力的频率\(\omega_d\)做振动，振幅为\(A_d\)。当\(\omega_d\)接近\(\omega_0\)时，振幅会变得很大，这种现象称为共振(Resonance)
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 和 isdigit() 的区别)
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