题解：P14620 [2019 KAIST RUN Fall] Minimum Diameter Spanning Tree

最小直径生成树模板。

众所周知，边权全为正的树的所有直径中点重合（有可能在一条边上）。直径问题经常考虑这个点。对于一棵树，设点 \(x\) 到直径中点的距离为 \(d_x\)，直径为 \(D\)，则 \(D=2\max_x{d_x}\)。进一步，如果将 \(d_x\) 改为 \(x\) 到任一其他点（包括一条边中间），这个等式右侧都会变大。

回到原题，如果已经求出最小直径生成树的直径中点 \(C\)（如果在边上就在边中间插一个点），那么求出以 \(C\) 为起点的最短路树即为最小直径生成树。

先通过 Floyd 算法求出全源最短路，记为 \(d(u,v)\)。枚举答案的直径中点 \(C\) 在边 \((u,v,w)\) 上，考虑将剩下的 \(n-2\) 个点划分为点集 \(U,V\)，让 \(U\) 中的点都经过 \(u\) 到 \(C\)，\(V\) 中的点都经过 \(v\) 到 \(C\)。设 \(L=\max_{x\in U}(d(u,x))\)，\(R=\max_{x\in V}(d(v,x))\)。那么此时 \(C\) 到所有点最短路的最大值即为 \(\max\{L,R,\frac{L+R+w}{2}\}\)。考虑枚举 \(L=d(u,x)\)，则可以贪心地取 \(U=\{y|d(u,y)\leq L\}\)，\(V\) 为剩下的点。也就是将所有点按照到 \(u\) 的距离排序，\(U\) 依次取每个前缀，\(V\) 分别取剩下的后缀即可。

排序只需要对每个点各做一次，复杂度为 \(O(n^2\log n)\)，全源最短路和枚举 \(U,V\) 复杂度均为 \(O(n^3)\)。

注意到当答案的 \(C\) 确实在 \((u,v)\) 上并且 \(\max\{L,R,\frac{L+R+w}{2}\}=D\) 时，必然有 \(|L-R|\leq w\)，此时 \(C\) 为边 \((u,v)\) 上与 \(u\) 距离为 \(\frac{R+w-L}{2}\) 的点，所以构造是容易的。

总复杂度 \(O(n^3)\)。