from 虞皓翔 2021 年的论文
0 引言
图论是组合数学中一个历史悠久的分支，以图为研究对象。图的连通性是图论中基础且重要的理论，更是图论中的奠基石。
OI 种的图论主要以数据结构为主，对连通性等的考察并不多。本文结合图论、dfs 树、网络流等多种算法，使用传统和较现代的图论理论来对这些基本问题做一个介绍。
1 相关定义
1.1 图
定义 1.1.1（图）. 图是一个二元组 \(G=(V,E)\)，其中 \(V,E\) 为集合或可重集，分别表示图的点集和边集，\(V\) 中的元素称为顶点，\(E\) 中的元素称为边。每条边是一个二元组 \((u,v)\)，其中 \(u,v\in V\)。若所有边均为无序二元组，则 \(G\) 是无向图；若所有边均为有序二元组，则称 \(G\) 是有向图。
一般地，用 \(V(G)\) 和 \(E(G)\) 表示 \(G\) 的点集和边集。
定义 1.1.2（自环，重边，简单图）. 对无向图 \(G=(V,E)\)，若 \(e=(u,v)\in E\) 满足 \(u=v\)，则称 \(e\) 是自环；若 \(E\) 中存在相同元素 \((u,v)\)（\((u,v)\) 和 \((v,u)\) 视为相同），则它们是一组重边；若 \(G\) 中不存在自环和重边，则 \(G\) 是简单图。
定义 1.1.3（关联，相邻）. 无向图 \(G\) 中，若 \(v\) 是 \(e\) 的一个端点，则称 \(v,e\) 是关联的，若两个顶点 \(u,v\) 是同一条边 \(e\) 的两个端点，则称 \(u,v\) 是相邻的。
定义 1.1.4（邻域，度）. 对于一个顶点 \(v\)，所有与之相邻的顶点集合（可重集）称为 \(v\) 的邻域，用 \(N(v)\) 表示；与 \(v\) 关联的边的条数称为该点的度数，用 \(d(v)\) 表示。对于无向图 \(G\)，记 \(\delta(G)=\min d(v),\Delta(G)=\max d(v)\)，分别表示 \(G\) 的最小度和最大度。
定义 1.1.5（子图）. 对于无向图 \(G=(V,E)\)，若存在另一个无向图 \(H=(V',E')\) 满足 \(V'\subseteq V\) 且 \(E'\subseteq E\)，则称 \(H\) 是 \(G\) 的子图，记作 \(H\subseteq G\)。
定义 1.1.6（导出子图）. 若 \(H=(V',E')\) 是 \(G=(V,E)\) 的子图且 \(\forall u,v\in V'\)，只要 \((u,v)\in E\) 就有 \((u,v)\in E'\)，则称 \(H\) 是 \(G\) 的导出子图。
容易发现，一个图的导出子图只由它的点决定，因此点集为 \(V'\) 的导出子图称为 \(V'\) 导出的子图，记作 \(G[V']\)。
1.2 连通性
定义 1.2.1（途径，迹，路径）.
- 对于无向图 \(G\) 中一个点和边的交错序列 \(w=[v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots,e_k,v_k]\)，其中首尾是点，且 \(e_i=(v_{i-1},v_i)\) 则称 \(w\) 是一条途径，简记作 \(w=v_0\to v_1\to\dots\to v_k\) 或者 \(w=v_0\rightsquigarrow v_k\)。
- 对于一条途径 \(w\)，若 \(e_1\sim e_k\) 两两不同，则称 \(w\) 是一条迹。
- 对于一条迹 \(w\)，若满足 \(v_i=v_j(i\neq j)\) 的 \((i,j)\) 只有 \((0,k)\) 或没有，则称 \(w\) 是一条路径。
定义 1.2.2（回路和圈）. 闭合的迹称为回路，闭合的路径称为圈，也称环。
定义 1.2.3（连通性）. 对于一张无向图 \(G=(V,E)\) 和 \(u,v\in V\)，若存在途径 \(u\rightsquigarrow v\)，则称 \(u,v\) 连通。若 \(G\) 中任意两个顶点连通，则称 \(G\) 是连通图。
定理 1.2.1. 对无向图 \(G=(V,E)\)，“连通”是 \(V\) 上的等价关系。
根据定理 1.2.1，我们可以根据顶点的连通关系将 \(V\) 划分为若干个等价类，每个等价类被称作 \(G\) 的一个连通分量，即连通块。
1.3 割集和连通度
定义 1.3.1（点割集）. 对于无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(u,v\in V\) 满足 \(u\neq v\) 且 \((u,v)\notin E\)，若存在 \(S\subseteq V-\{u,v\}\) 使得 \(G[V-S]\) 中 \(u,v\) 不连通，则称 \(S\) 是 \(u,v\) 的点割集。若 \(S\) 是某对 \((u,v)\) 的点割集，则称 \(S\) 是 \(G\) 的点割集。
定义 1.3.2（边割集）. 对于无向图 \(G=(V,E)\) 和 \(u,v\in V\) 满足 \(u\neq v\)，如果存在边集 \(F\subseteq E\) 使得 \(G-F\) 中 \(u,v\) 不连通，则称 \(F\) 是 \(u,v\) 的边割集。如果 \(F\) 是某对 \((u,v)\) 的边割集，则称 \(F\) 是 \(G\) 的边割集。
定义 1.3.3（点连通度）. 对于无向图 \(G\) 中不相邻顶点 \(u,v\)，定义其点连通度为 \((u,v)\) 的点割集大小的最小值，记为 \(\kappa(u,v)\)。对于非完全图 \(G\)，定义其点连通度为全局点割集大小的最小值，记为 \(\kappa(G)\)。
定义 1.3.4（边连通度）. 对于无向图 \(G\) 中不同顶点 \(u,v\)，定义其边连通度为 \((u,v)\) 的边割集大小的最小值，记为 \(\lambda(u,v)\)，若 \(|G|\ge 2\)，则定义其边连通度为全局边割集大小的最小值，记为 \(\lambda(G)\)。\(|G|=1\) 时 \(\lambda(G)=+\infty\)。
定义 1.3.5（k-连通性）. 若 \(\kappa(G)\ge k\) 或 \(\lambda(G)\ge k\)，则称 \(G\) 是 \(k\)-点连通图或 \(k\)-边连通图。
容易发现点连通性与图是否是简单图无关，而边连通性与其有关。
2 \(k\)-连通性及其性质
2.1 Menger 定理
关于点连通度和边连通度，最重要的结论或许是下面的定理：
定理 2.1.1（Menger）.
- 对于无向图 \(G\) 中一对不相邻顶点 \(u,v\)，\(\kappa(u,v)\ge k\) 当且仅当存在 \(k\) 条 \(u\rightsquigarrow v\) 的路径，两两之间公共点只有 \(\{u,v\}\)。
- 对于无向图 \(G\) 中一对顶点 \(u,v\)，\(\lambda(u,v)\ge k\) 当且仅当存在 \(k\) 条 \(u\rightsquigarrow v\) 的路径，两两之间无公共边。
事实上，Menger 定理是最大流最小割定理的不带权版本，点连通和边连通分别对应限制点容量和边容量。
2.2 连通度的界
关于图的连通度有非常多结论，给出一个最基本结论：
定理 2.2.1. 对于无向图 \(G\) 中一对不相邻顶点 \(u,v\)，有 \(\kappa(u,v)\le \lambda(u,v)\le\min(d(u),d(v))\)，于是有 \(\kappa(G)\le\lambda(G)\le\delta(G)\)。
证明：设 \(F\) 为 \(u,v\) 的边割集。对于 \(F\) 中的每一条边，显然至少存在一个端点不是 \(u\) 或 \(v\)。对所有的边都取这样一个点，得到一个点集 \(S\)，显然 \(|S|\le |F|\) 且 \(S\) 是 \(u,v\) 的局部点割集，所以 \(\kappa(u,v)\le\lambda(u,v)\)。设 \(d(u)\le d(v)\)，则与 \(u\) 关联的所有边构成 \(G\) 的一个边割集，所以 \(\lambda(u,v)\le\min(d(u),d(v))\)。由全局连通度和最小度的定义有 \(\kappa(G)\le\lambda(G)\le\delta(G)\)。\(\square\)
结合握手定理，有 \(|V|\delta(G)\le\sum d(v)=2|E|\)，得
推论 2.2.1. 对于非完全图 \(G=(V,E)\)，有 \(\kappa(G)\le\lambda(G)\le\dfrac{2|E|}{|V|}\)。
在图中添加或删除一条边，对图的连通度影响如下：
定理 2.2.2.
- 点连通（默认点连通有意义，即图不算完全图）. 设 \(\kappa(G)=A\)，则：
- \(\forall v\in G\)，\(\kappa(G-\{v\})\ge A-1\)。
- \(\forall e\in G\)，\(\kappa(G-\{e\})\le A\)。
- 边连通. 设 \(\lambda(G)=B<+\infty\)，则 \(\forall e\in G\)，\(B-1\le\lambda(G-\{e\})\le B\)。
这些结论由定义不难得到。
2.3 局部 \(k\)-边连通性
2.3.1 \(k\)-边连通关系
对于无向图 \(G\) 和正整数 \(k\)，在 \(V\) 上定义二元关系 \(\rho_k\)，其中 \((a,b)\in\rho_k\) 当且仅当 \(\lambda(a,b)\ge k\)（\(a=b\) 时定义 \(\lambda(a,b)=+\infty\)），称该关系为图的 \(k\)-边连通关系。则：
定理 2.3.1. \(\rho_k\) 是 \(V\) 上的等价关系。
证明：显然 \(\rho_k\) 具有自反性和对称性。只需要证明传递性。
设 \((a,b),(b,c)\in\rho_k\)。设 \(F\) 为 \(a,c\) 的边割集，则 \(G-F\) 中 \(a,c\) 不连通，由连通的传递性可知 \(b\) 至少与其中之一不连通，不妨设 \(a,b\) 不连通。那么此时 \(F\) 也是 \(a,b\) 的边割集，因此 \(\lambda(a,c)\ge\lambda(a,b)\ge k\)，即 \((a,c)\in\rho_k\)。\(\square\)
2.3.2 \(k\)-边连通分量
由定理 2.3.1，\(\rho_k\) 将 \(V\) 划分为若干个等价类 \(V_1\sim V_n\)，其中每个等价类为 \(G\) 的一个 \(k\)-边连通分量。注意 \(k\ge 3\) 时一个 \(k\)-边连通分量的导出子图不一定连通。
2.3.3 \(k\)-边连通判定
由定理 2.1.1，判断两个点 \(u,v\) 是否 \(k\)-边连通，只需要判断是否存在 \(u\to v\) 的 \(\ge k\) 的流即可。因此如果只需要判两个点可以直接使用最大流算法。
由于最大流算法实现方法较多，需要合理衡量算法的时间复杂度以及实现难度，用 \(O(flow(v,e))\) 表示在一个 \(v\) 个点 \(e\) 条边的图做最大流的时间复杂度。
2.3.4 \(k\)-边连通分量划分
考虑如何求出 \(G\) 的 \(k\)-边连通分量划分。
一个简单的实现是对每一个点对之间做一遍最大流，时间复杂度 \(O(|V|^2flow(|V|,|E|))\)。不过实际上并不需要做那么多次最大流。
考虑取一对顶点 \(u,v\)，我们可以在 \(O(flow(|V|,|E|))\) 的时间内判断是否有 \(\lambda(u,v)\ge k\)。
- 若 \(\lambda(u,v)\ge k\)，则 \(u\) 和 \(v\) 应该在同一个 \(k\)-边连通分量中，因此下面的过程中不需要再考虑 \(v\) 点。
- 若 \(\lambda(u,v)<k\)，则说明存在一个局部边割集 \(F\) 满足 \(u,v\) 在 \(G-F\) 中不连通。令 \(C_u\) 为 \(u\) 所在的连通分量，\(C_v=V-C_u\)。此时 \(\forall u'\in C_u,v'\in C_v\)，\(F\) 也是 \(u'\) 和 \(v'\) 的边割集，即 \((u',v')\notin \rho_k\)。这说明 \(C_u\) 和 \(C_v\) 分别是若干个 \(k\)-边连通分量的并。也就是说我们将这个问题转化为了它的子问题。
于是我们每次从操作要么“删除”一个点，要么将一个集合拆成若干个小集合，当最后每个集合中的点都只剩下一个的时候我们就得到了 \(G\) 的 \(k\)-边连通分量划分，只需要跑 \(O(|V|)\) 次最大流。
总时间复杂度 \(O(|V|flow(|V|,|E|))\)。
2.4 边连通度
2.4.1 局部边连通度
判定是否为 \(k\)-边连通的一个自然推广就是计算任意点之间的局部边连通度。最小割有一个性质：
定理 2.4.1. 设 \(G=(V,E)\)，有 \(u,v\in V\)。设 \(F\) 是 \(u,v\) 的最小割，\(u,v\) 所在连通分量为 \(S,T\)。则 \(\forall u'\in S,v'\in T\)，均有 \(\lambda(u',v')\le\lambda(u,u')\)。
证明：设 \(G\) 为 \(u,u'\) 的最小割，其中 \(u,u'\) 所在连通分量为 \(P,Q\)。由最小割的 Submodular 性质，不妨设 \(T\subseteq P\) 或 \(T\subseteq Q\)。
- 若 \(T\subseteq P\)，则 \(G\) 也是 \(u',v'\) 的边割集，因此 \(\lambda(u',v')\le |G|=\lambda(u,u')\)。
- 若 \(T\subseteq Q\)，则 \(G\) 也是 \(u,v\) 的边割集，而 \(G\) 也是 \(u',v'\) 的边割集，所以 \(\lambda(u',v')\le |F|=\lambda(u,v)\le |G|=\lambda(u,u')\)。
综上，有 \(\lambda(u',v')\le\lambda(u,u')\)。\(\square\)
推论 2.4.1. 条件同上，有 \(\lambda(u',v')\le\min(\lambda(u',u),\lambda(u,v),\lambda(v,v'))\)。
又由定理 2.3.1，\(\lambda(a,c)\ge\min(\lambda(a,b),\lambda(b,c))\)，结合推论 2.4.1 有：
推论 2.4.2. 条件同上，有 \(\lambda(u',v')=\min(\lambda(u',u),\lambda(u,v),\lambda(v,v'))\)。
于是，不难得到一个计算任意点对的局部边连通度的算法：
- 定义函数 \(EFT(U)\) 其中 \(U\subseteq V\)，返回一棵带权的树。\(EFT\) 函数具体过程如下：
- 若 \(|U|=1\)，返回树 \((U,\varnothing)\)。
- 否则，任取 \(U\) 中不同两点 \(u,v\)，使用一次最大流算法得到 \(\lambda(u,v)\) 以及对应边割集，设对应两个连通分量为 \(S^*,T^*\)，其中 \(u\in S^*,v\in T^*\)。
- 令 \(S=S^*\cap U,T=T^*\cap U\)。令 \((S,E_S)=EFT(S),(T,E_T)=EFT(T)\)。
- 最后令边 \(e=(u,v)\)，边权为 \(\lambda(u,v)\)，函数返回树 \((U,E_S\cup E_T\cup e)\)。
注意运行最大流算法时一定要在原图上运行而非导出子图。
上述过程得出的树被称为等价流树，下面证明它的主要性质：
定理 2.4.3. \(\forall u,v\in V(u\neq v)\)，\(\lambda(u,v)\) 等于 \(EFT(T)\) 中路径 \(u\rightsquigarrow v\) 中最小的边权。
证明：固定 \(G\)，按照算法流程对 \(U\) 归纳证明。假设 \(EFT(S),EFT(T)\) 满足定理的结论，那么对于 \(EFT(U)\) 中的点对，只需要考虑 \(u'\in S\) 且 \(v'\in T\) 的情况。由定理 2.4.2，有 \(\lambda(u',v')=\min(\lambda(u',u),\lambda(u,v),\lambda(v,v'))\)。由归纳假设和树的性质，\(\lambda(u',v')\) 恰好等于路径 \(u'\rightsquigarrow u\to v\rightsquigarrow v'\) 中最小的边权。\(\square\)
不难证明这个算法的时间复杂度也是 \(O(|V|flow(|V|,|E|))\)，且预处理完毕后我们将一次局部边连通度的询问转化为树上权值 \(\min\)，达到 \(O(\log |V|)\) 甚至 \(O(1)\) 询问。
2.4.2 Gusfield 算法
Gusfield 算法是上述算法的一种实现，由于其不需要递归，因此显得比较有优势。算法流程如下：
- 任取 \(r\in V\)，令 \(R=V-\{r\},E_T=\varnothing,B_r=R,B_v=\varnothing(v\neq r)\)。
- 若 \(R=\varnothing\)，返回 \((V,E_T)\)。
- 取 \(v\in R\)，令 \(R=R-\{v\}\)。
- 设 \(u\) 满足 \(v\in B_u\)，使用最大流算法得到 \(\lambda(u,v)\) 以及对应边割集，假设对应的两个连通分量为 \(S^*,T^*\)，其中 \(u\in S^*,v\in T^*\)。
- 令 \(B_v=B_u\cap T^*,B_u=B_u\cap S^*\)。
- 令边 \(e=(u,v)\)，边权为 \(\lambda(u,v)\)，令 \(E_T=E_T\cup\{e\}\)，回到第二步。
容易证明该算法与前面的算法是等价的，时间复杂度也是相同的。
2.4.3 全局边连通度
对于一张图，其全局边连通度为所有边连通度的 \(\min\)，因此可以在 \(O(|V|flow(|V|,|E|))\) 的复杂度内得到，不过如果我们只需要知道它的全局边连通度的话，由专门的算法解决这类问题，如确定性的 Stoer-Wagner 算法（时间复杂度 \(O(|V|^2\log |V|+|V||E|)\)）以及基于随机化的 Karger 算法（时间复杂度 \(O(|V|^2\log^3|V|)\)）。限于篇幅，这里不对这两种算法进行展开。
2.5 点连通度
与边连通度相对应的一个问题就是点连通度。容易发现 \(k\)-点连通性没有传递性，所以处理点连通度会比处理边连通度更为麻烦。
2.5.1 局部点连通度
计算两个点的点连通是容易的，由定理 2.1.1 得我们只需要计算在限制点容量为 \(1\) 的条件下 \(u\) 到 \(v\) 的最大流大小，而这可以通过拆点的思想解决。
时间复杂度 \(O(flow(|V|,|E|))\)。
2.5.2 全局点连通度
由定义，\(\kappa(G)=\min\kappa(u,v)\)。按照定义直接计算，复杂度 \(O(|V|^2flow(|V|,|E|))\)。
和边连通度类似，我们并不需要运行 \(|V|^2\) 次最大流，因为很多操作都是冗余的。
设 \(G=(V,E)\) 是非完全图的连通无向简单图，\(\kappa(G)=c\)，则 \(1\le c\le |V|-2\)。于是 \(G\) 存在大小为 \(c\) 的点割集，设为 \(S\)。
设 \(V=\{1,2,\dots,|V|\}\)。由于 \(|S|=c\)，因此必定存在元素 \(v\in\{1,2,\dots,c+1\}\) 满足 \(v\notin S\)。又因为 \(G-S\) 中至少有两个连通分量，从而存在 \(u\in V-S\) 且 \(u,v\) 在两个不同连通分量。显然 \((u,v)\neq E\)。
于是 \(S\) 是 \((u,v)\) 的一个点割集，从而 \(\kappa(u,v)=c\)。这说明：
定理 2.5.1. 若非完全图的连通无向简单图 \(G=(V,E)\) 的点连通度为 \(c\)，则对于 \(V\) 的任意一个 \(c+1\) 元子集 \(X\)，一定存在 \(v\in X,u\in V,(u,v)\notin E\) 满足 \(\kappa(u,v)=c\)。
于是我们得到一个时间复杂度为 \(O(\kappa(G)|V|flow(|V|,|E|))\) 的算法：
- 设 \(V=\{1,2,\dots,|V|\}\)。
- 令 \(u=1,c=+\infty\)。
- 若 \(u>c\)，则返回 \(\kappa(G)=c\)，程序结束。
- 否则令 \(U=\{v|u<v,(u,v)\notin E\}\)，使用网络流计算 \(c_u=\min\limits_{v\in U}\kappa(u,v)\)。
- 令 \(c=\min(c,c_u),u=u+1\)，回到第二步。
由推论 2.2.1，其时间复杂度也等于 \(O(|E|flow(|V|,|E|))\)。
2.5.3 \(k\)-点连通分量
我们之前并没有给 \((u,v)\in E\) 的 \(u,v\) 定义 \(\kappa(u,v)\)，因此再次额外给出它的定义：
定义 2.5.1. 对于无向简单图 \(G=(V,E)\) 和 \((u,v)\in E\)，定义 \(\kappa(u,v)\) 为从 \(u\) 到 \(v\) 的路径条数的最大值（含 \(u\to v\)），满足两两之间公共点只有 \(\{u,v\}\)。
为了方便区分，我们记这个函数为 \(\kappa^*\)。这个函数在 \((u,v)\notin E\) 时取值与 \(\kappa(u,v)\) 相同。
下面给出 \(k\)-点连通分量的定义。
定义 2.5.2（\(k\)-点连通分量）. 对于无向简单图 \(G=(V,E)\)，若集合 \(S\subseteq G\) 满足 \(\forall u,v\in S(u\neq v)\) 均有 \(\kappa^*(u,v)\ge k\) 且不存在 \(S\) 的一个真超集满足上述性质，则称 \(S\) 是 \(G\) 的一个 \(k\)-点连通分量。
考虑建立一张辅助图 \(H=(V,E_H)\)，其中 \(E_H=\{(u,v)|u\neq v,\kappa^*(u,v)\ge k\}\)。
对边连通建图时，由于 \(k\)-边连通是等价关系，所以得到的图是若干个不相交完全图的并，而 \(G\) 中的一个边连通分量对应辅助图中的一个连通块。
而对点连通建图时，由于 \(k\)-点连通没有传递性，因此不同的点连通分量之间可能有交集，同样的，\(k\ge 3\) 时一个 \(k\)-点连通分量并不一定能导出一个连通子图。
根据定义，\(G\) 的一个 \(k\)-点连通分量对应辅助图 \(H\) 中的一个极大团。因此 \(G\) 的 \(k\)-点连通分量结构可以由 \(H\) 的极大团结构得到。
定理 2.5.2. \(n\) 阶无向图至多有 \(n\) 个 \(k\)-点连通分量。
对于建立辅助图的过程，除了暴力对每一对点跑最大流以外，笔者尚未获得低于 \(O(|V|^2flow(|V|,|E|))\) 的算法。
考虑 \(H\) 中两个极大团 \(A,B\)，它们的交集大小是有限制的。
定理 2.5.3. 对于 \(H\) 中任意两个不同极大团 \(A,B\)，\(|A\cap B|\le k-1\)。
证明：若 \(|A\cap B|\ge k\)，则由 \(A,B\) 的极大性有 \(A\nsubseteq B,B\nsubseteq A\)，所以存在 \(u\in A-B,v\in B-A\)，此时 \((u,v)\notin H\)。由定义知 \(\kappa^*(u,v)\le k-1\)，那么分两种情况讨论：
- \((u,v)\notin E\)：存在大小不超过 \(k-1\) 的集合 \(S\) 割掉 \(u,v\)，从而存在 \(x\in (A\cap B)-S\)。因为 \(\kappa^*(u,x)\ge k\)，\(\kappa^*(v,x)\ge k\)。因此在 \(G[V-S]\) 中 \(u,x\) 和 \(v,x\) 连通，矛盾。
- \((u,v)\in E\)：存在大小不超过 \(k-2\) 的集合 \(S\) 使得 \(G[V-S]\) 中 \((u,v)\) 是大小为 \(1\) 的边割集，从而存在 \(x\in (A\cap B)-S\)。因为 \(\kappa^*(u,x)\ge k\)，所以 \(G[V-S]\) 中 \(\kappa^*(u,x)\ge 2\)，于是删除 \((u,v)\) 后 \(u,x\) 仍然连通，\(v,x\) 同理。因此 \(u,v\) 仍然连通，矛盾。
于是任意两个极大团的交至多有 \(k-1\) 个顶点。
2.6 总结
本节主要介绍了对于一般的正整数 \(k\)，\(k\)-点（边）连通性的判定以及点（边）连通分量的一些可行方法。
对于无向图边连通所建立的网络，边权为 \(1\)，因此使用 Dinic 就有 \(O(flow(|V|,|E|))=O(|E|^{\frac 32})\)。如果只需要判定最大流是否 \(\ge k\)，第一项还可以对 \(k\) 取 \(\min\)，即 \(O(\min(k,\sqrt{|E|})|E|)\)。
对于点连通所建立的网络，发现形如 \(x\) 的点只有一条出边，形如 \(x'\) 的点只有一条入边，此时使用 Dinic 就有 \(O(flow(|V|,|E|)=O(\sqrt{|V|}|E|))\)。同理，如果只需要判定最大流是否 \(\ge k\)，第一项也可以和 \(k\) 取 \(\min\)。
将上述所有算法列成一张表，其中假设所有网络流使用最常见的 Dinic 算法：
注意，其中某些问题学术界可能存在更优做法，但由于实现过于复杂或者实际意义不大就不给出，这里讨论的算法都是相比之下较为实用的算法。另外对于一些问题，可能需要通过具体的 \(k,|V|,|E|\) 得出复杂度，因为对应的界比较多（如 \(\kappa=O(\dfrac{|E|}{|V|}),flow(|V|,|E|)=O(min(k,\sqrt{|V|})|E|)\) 等）。
3 1-连通与 2-连通
接下来着重讨论 \(k\) 较小的情形。
本文将讨论 \(k=1,2,3\) 的情形。对于 \(k=4\) 的情形，虽然学术界有对应算法，不过由于实用性不大且实际表现不一定比上面的算法优秀，这里就暂时略去。
\(k=3\) 的情形相较于 \(k=1,2\) 更为复杂，所以本节先讨论 \(k=1,2\) 的情形。
3.1 1-连通
由定义即可知，对于无向图 \(G\)，\(G\) 是连通图当且仅当 \(G\) 是 1-点连通图，当且仅当 \(G\) 是 1-边连通图。
问题等价于连通性问题，使用 dfs、bfs 或并查集等均可完成，不再赘述。
3.2 2-连通
2-连通分为 2-点连通和 2-边连通。在讨论 2-连通之前，需要先讨论一下图的 dfs 树：
定义 3.2.1（dfs 生成树）. 对于一张连通无向图 \(G=(V,E)\)，任取一个点 \(r\) 为根进行 dfs，则每个点 \(v\in V-\{r\}\) 在 dfs 时都有一个前驱节点，记为 \(p_v\)。则所有形如 \((v,p_v)\) 的边构成一棵以 \(r\) 为根的 dfs 生成树，记为 \(T_r\)。dfs 树上的边称为树边，其他边称为非树边。
dfs 树也可以认为是无根树，不过为了方便起见一般认为是以 \(r\) 为根的有根树。通常情况下 dfs 树也可以看成是外向树（根指向叶子）、内向树（叶子指向根）和无向树，具体根据上下文决定。
对于不连通的图 \(G\)，需要对于每个连通分量进行 dfs 得到 dfs 森林。
下面的定理是无向图 dfs 树的重要性质：
定理 3.2.1. 设 \(T_r\) 为无相如 \(G\) 的一棵 dfs 树，则所有非树边都连接 \(T_r\) 中某个顶点和其祖先。
因此，我们也称无向图的非树边为返祖边。
3.3 2-边连通
本小节默认图是连通图。
先来看 2-边连通，即边双连通。
3.3.1 边双连通分量和桥边
定义 3.3.1（桥边）. 若单边集 \(\{e\}\) 为图 \(G\) 的某个边割集，则称 \(e\) 是 \(G\) 的桥边，也称割边。
边双连通有如下性质：
定理 3.3.1. 若 \(B\) 是图 \(G\) 的一个边双连通分量，则 \(G[B]\) 是边双连通图。
证明：取 \(u,v\in B\)，由 \(\kappa(u,v)\ge 2\) 有存在从 \(u\) 到 \(v\) 的两条边不相交的路径。考虑得到经过 \(u,v\) 的有向回路，从而回路上的所有点两两边双连通，因此 \(u,v\) 在 \(G[B]\) 中连通且边双连通。\(\square\)
推论 3.3.1. \(B\) 是 \(G\) 的边双连通分量当且仅当 \(G[B]\) 是 \(G\) 的极大边双连通子图。
考虑图 \(G\) 的 dfs 树，对于每条非树边 \(e\)，由定理 3.2.1 有他是返祖边，连接某个点 \(v\) 和其祖先顶点 \(u\)。这时我们称 \(e\) 覆盖了所有路径 \(u\rightsquigarrow v\) 上所有树边。
定理 3.3.2. 对于图 \(G\)，\(e\) 是桥边当且仅当 \(e\) 是树边且 \(e\) 没有被任何一条非树边覆盖。
于是我们可以通过树上差分的技巧计算出每条边是否被返祖边覆盖，来得到所有桥边。
考虑所有被覆盖的树边构成的图，它们是一个森林。容易发现，森林中的每个连通分量对应 \(G\) 的一个边双连通分量。
于是找出所有桥边并去掉后，剩下的边（或树边）构成的连通分量就是原图的边双连通分量。
上述算法的时间复杂度为 \(O(|V|+|E|)\)。
我们尝试发掘更深的性质。考虑有根树上的一个连通子图 \(S\)，则 \(S\) 中有唯一顶点具有最小深度。
对于一个边双连通分量，其在 dfs 树上是一个连通子图，因此它存在深度最小的顶点。
对于 \(v\in G\)，定义 \(low_v\) 表示以 \(v\) 为根的子树的点 \(u\) 中通过返祖边 \((u,w)\) 能到达的深度最小的 \(w\)。
根据上述定义，每个边双连通分量都有且仅有一个点满足 \(v=low_v\)，且这个 \(v\) 就是深度最小的顶点。
为了快速完成这个任务，同时避免记录二元组，我们可以引入 dfs 序——dfs 时顶点的访问顺序。用 \(seq_i\) 表示 dfs 时访问的第 \(i\) 个顶点，\(id_i\) 或 \(dfn_i\) 表示第 \(i\) 个点访问的时刻（第几个被访问）。容易发现 \(seq\) 和 \(id\) 互为逆置换。
dfs 序的一个重要性质是：
定理 3.3.3. 若 \(u\) 在 dfs 树中是 \(v\) 的祖先，则 \(id_u\le id_v\)。
发现 \(low_v\) 一定是 \(v\) 的祖先，因此可以把定义换为标号最小者。为了方便起见，不妨设 dfs 序就是 \(1\sim n\)。现在对每个 \(v\) 求出 \(low_v\)，可以树形 dp：
- 考虑和 \(v\) 关联的所有返祖边，对于每个 \((v,u)\) 令 \(low_v=\min(low_v,u)\)；
- 对于每个 \(v\) 的子节点 \(c\)，令 \(low_v=\min(low_v,low_c)\)。
遇到 \(v=low_v\) 时，将以 \(v\) 为根的子树取出来作为一个边双连通分量并将其在树上删除。同时如果 \(v\) 存在父节点 \(p_v\) 则边 \((p_v,v)\) 是桥边。
这就是 Tarjan 算法，时间复杂度 \(O(|V|+|E|)\)。
3.3.2 应用——Robbins 定理
边双连通图的一个实际应用就是 Robbins 定理：边双连通图的强连通定向。
定理 3.3.4（Robbins）. 无向简单图 \(G\) 能定向成强连通（有向）图的充分必要条件是 \(G\) 是边双连通图。
证明：必要性：若 \(G\) 不是边双连通图则存在桥边 \((u,v)\)，显然无法同时存在 \(u\rightsquigarrow v\) 和 \(v\rightsquigarrow u\) 的有向路径，矛盾。
充分性：设 \(G\) 是边双连通图，其一棵 dfs 树为 \(T\)，那么将所有树边按照外向树定向（父节点指向子节点），所有返祖边定向为“后代指向祖先”。首先由外向树的性质可知根能到达所有节点，而因为 \(G\) 是双连通图，在 Tarjan 算法中有 \(low[low[\dots low[v]\dots]]=1\)，而 \(v\) 可以到达 \(low_v\)，所以每个点也可以到达 \(1\)，因此图为强连通图。\(\square\)
上述证明同时也给出了简单且容易实现的构造，时间复杂度 \(O(|V|+|E|)\)。
3.4 2-点连通
和边连通类似，2-点连通被称为点双连通。
定义 3.4.1（割点）. 若单点集 \(\{v\}\) 为连通图 \(G\) 的某个点割集，则称 \(v\) 是 \(G\) 的割点。
3.4.1 2-点连通分量和点双连通分量
由于对 2 阶完全图 \(K_2\) 点连通度的定义问题，点双连通分量的定义会有少许区别。为了方便起见，人为规定 \(K_2\) 是 2-点连通图，即 \(\kappa(K_2)=2\)。
定义 3.4.2（点双连通分量）. 对于连通无向图 \(G=(V,E)\)，对于 \(B\subseteq V\)，若 \(G[B]\) 是 \(G\) 的极大 2-点连通子图，则 \(B\) 为 \(G\) 的点双连通分量。
\(\kappa(K_2)=1\) 时点双连通分量的定义和 2-点连通分量是完全一致的，但是 \(\kappa(K_2)=2\) 时所有 2-点连通分量仍然是点双，但所有桥边 \((u,v)\) 对应二元集 \(\{u,v\}\) 会是新的点双。\(|V|>1\) 时所有点双都有至少两个点。
在后面的过程中会发现这么定义是对算法流程有益的。
定理 2.5.2 告诉我们 \(n\) 个点的图至多有 \(n\) 个 2-点连通分量，也可以证明 \(n\) 个点的图至多有 \(n\) 个点双连通分量。
3.4.2 边的等价性
点连通对点来说不是等价关系，但 2-点连通对边来说是等价关系。
在 \(E\) 上定义二元关系 \(\rho_c\)，其中 \((e,f)\in \rho_c\) 当且仅当它们可以同时在一个圈中。
定理 3.4.1. \((e,f)\in\rho_c\) 当且仅当 \(e,f\) 在同一个点双中。
证明：若 \((e,f)\in\rho_c\) 则 \(e,f\) 同时在一个圈中，于是 \(e,f\) 的所有端点都是两两 2-点连通的，所以这些端点在同一个点双中。
考虑点双连通图中的两条边 \(e=(u,v),f=(u',v')\)。将 \(e\) 换成 \((u,x),(x,v)\)，\(f\) 换成 \((u',x'),(x',v')\)，则新图仍然是点双连通的，于是至少存在两条 \(x\rightsquigarrow x'\) 的路径，它们拼起来可以构成一个圈，显然这个圈经过边 \(e\) 和 \(f\)。\(\square\)
回到 dfs 树。根据上面的结论，dfs 树上的 \(n-1\) 条树边可以根据 \(\rho_c\) 划分为若干个等价类。
考虑一个等价类，根据之前的结论有它是一个点双中的所有树边，因此它必然对应 dfs 树上的一个连通块。
于是对于每条返祖边 \((v,u)\)（\(u\) 是 \(v\) 的祖先），将这些路径上的所有边设为等价，最终树上每一种等价类对应连通子图就是原图的一个点双。
对于每一个点双 \(B\)，在 dfs 树上仍然是一个连通子图，且其中有唯一顶点具有最小深度。
设其为 \(v\)，则 \(v\) 的子节点中至多一个属于 \(B\)。否则设 \(c_1,c_2\in B\)，则 \((c_1,v)\) 和 \((c_2,v)\) 等价，那么它们也应该与 \((v,p_v)\) 等价，与 \(v\) 的深度最小性矛盾。
假设这个唯一的子节点为 \(u\)，则 \(v\le low_u\)，反之如果一个点 \(v\) 和其子节点 \(u\) 满足 \(v\le low_u\) 则此时 \(u\) 所在子树以及边 \((u,v)\) 共同构成 \(\rho_c\) 的等价类，即我们得到了一个点双。于是将以 \(u\) 为根的子树删去，然后重复运行即可。
这就是 Tarjan 求点双，时间复杂度 \(O(|V|+|E|)\)。
3.4.3 割点
定理 3.4.2. 点 \(v\) 不是割点当且仅当所有与其关联的边在同一个 \(\rho_c\) 等价类中。
于是如果这些边不全在一个等价类中，则必然有一条边 \((u,v)\) 与 \((v,p_v)\) 不在一个等价类，所以存在 \(u\) 满足 \(v\le low_u\)。
不过要注意根节点是一个例外。根节点在 dfs 树中关联的边两两在 \(\rho_c\) 中不等价，只需要判断是否有两棵及以上的子树即可。
时间复杂度 \(O(|V|+|E|)\)。
3.4.4 应用：块割树和圆方树
不同的点双可能有交，因此在求解时必须使用边的等价类来处理。
但是点双的主角还是点，对于点来说又有哪些性质呢？
首先由定理 2.5.3 能得到，两个点双的交集至多有一个点，而且必定是割点。
定义 3.4.3（块割树）. 对无向连通图 \(G\)，我们可以定义图 \(H=(B\cup C,J)\) 满足：
- \(B\) 是 \(G\) 中所有点双（作为点集）构成的集合。
- \(C\) 是 \(G\) 中所有割点构成的集合。
- \(J=\{(b,c)|b\in B,c\in b\cap C\}\)。
此时 \(H\) 就是 \(G\) 的块割树。
即由割点和点双构成的树。容易证明无向连通图的块割树一定是树。
得到一张图的块割树也不难。由于割点一定在块割树上，所以以任意一个割点为根开始 dfs，每次找到一个点双就把其中所有割点向它连一条边，再把它连上找到它的那个点。
在实际应用中，我们不仅仅需要割点，所以我们一般会使用块割树的广义版本圆方树。
定义 3.4.4（圆方树）. 对连通无向图 \(G=(V,E)\)，定义图 \(H=(B\cup V,J)\) 满足：
- \(B\) 是 \(G\) 中所有点双（作为点集）构成的集合。
- \(J=\{(b,v)|b\in B,v\in b\}\)。
此时 \(H\) 是 \(G\) 的圆方树。\(B\) 中的点称为方点，\(V\) 中的点称为圆点。
根据定义，有
定理 3.4.3. 块割树是圆方树中所有非叶节点的导出子图，它们的每条边连接一个圆点和一个方点。
类似的，圆方树也可以用一次 Tarjan 算法在 \(O(|V|+|E|)\) 的时间得到。圆方树可以将许多图上路径相关问题转化为对应树上问题，从而使用传统树上算法进行处理。
4 3-连通及其应用
3-连通是图论中较为现代的理论，同样分为 3-边连通和 3-点连通。它们有各自的算法和应用。
4.1 3-边连通
本小节默认图是 2-边连通图，允许重边但是不允许自环。
4.1.1 切边和切边对
定义 4.1.1（切边，切边对）. 对于无向图 \(G\)，若某个二元边集 \(\{e_1,e_2\}(e_1\neq e_2)\) 是 \(G\) 的边割集，则称 \((e_1,e_2)\) 是一对切边对，两条边都被称为切边。
切边对具有如下性质：
定理 4.1.1. 对于无向图 \(G=(V,E)\)，\(e_1,e_2\in E,e_1\neq e_2\)，则 \((e_1,e_2)\) 为切边对当且仅当对于 \(G\) 中的每个圈 \(C\)，\((e_1\in C)\Leftrightarrow(e_2\in C)\)。
证明：充分性：若 \(e_1,e_2\) 满足在所有圈中同时出现或同时不出现，这说明删去 \(e_1\) 后 \(e_2\) 不能出现在任何一个圈上，所以 \(e_2\) 是 \(G-\{e_1\}\) 的桥，即 \((e_1,e_2)\) 是切边对。
必要性：若 \((e_1,e_2)\) 是切边对，则 \(e_2\) 是 \(G-\{e_1\}\) 的桥边。
这说明在 \(G\) 中经过 \(e_2\) 的圈必定经过 \(e_1\)，反过来同理，因此它们在所有圈中要么同时出现，要么同时不出现。
4.1.2 切边等价
我们可以引入切边等价的概念：
定义 4.1.2（切边等价）. 对于 2-边连通无向图 \(G=(V,E)\) 和 \(e_1,e_2\in E\) 且 \(e_1\neq e_2\)，如果对 \(G\) 中的每个圈 \(C\) 都有 \((e_1\in C)\Leftrightarrow(e_2\in C)\) 则 \(e_1,e_2\) 切边等价。记作 \(e_1\stackrel c\sim e_2\)。
由定理 4.1.1，\(e_1\neq e_2\) 时，\(e_1\stackrel c\sim e_2\) 当且仅当 \((e_1,e_2)\) 是切边对。
定理 4.1.2. 切边等价是等价关系。
证明：显然切边等价具有自反性和对称性。设 \(e_1\stackrel c\sim e_2\)，\(e_2\stackrel c\sim e_3\)，那么对于每一个圈 \(C\) 有 \((e_1\in C)\Leftrightarrow(e_2\in C)\Leftrightarrow(e_3\in C)\)，根据 \(\Leftrightarrow\) 的传递性可得 \(e_1 \stackrel c\sim e_3\)。\(\square\)
于是切边等价关系将边集 \(E\) 划分为若干个等价类 \(E_1\sim E_n\)。
4.1.3 和 3-边连通的关系
定义 4.1.3（收缩）. 对于 \(G=(V,E)\) 和边 \(e=(u,v)\in E\)，定义 \(G\) 对 \(e\) 收缩所得的图为 \(H=(V',E')\)，其中：
- 定义一个新的点 \(w\)，则 \(V'=(V-\{u,v\})\cup\{w\}\)。
- 对于 \(E\) 中的边 \((x,y)\)，若 \(x,y\notin\{u,v\}\) 则 \((x,y)\) 也在 \(E'\) 中，否则设 \(x\in\{u,v\}\)，把对应边换成 \((w,y)\)。
- 最终去掉图中所有自环。
\(G\) 对 \(e\) 收缩的图记为 \(G\cdot e\) 或 \(G/e\)。
简单来说就是把一条边的两个端点缩到一个点上。
注意简单图经过收缩后可能成为非简单图（可能有重边）。
切边等价和 3-边连通的关系由下面两个定理建立：
定理 4.1.3. 设 \(G\) 中的边 \(e=(u,v)\) 满足它所在的 \(\stackrel c\sim\) 等价类大小为 \(1\)，则 \(u,v\) 在同一个 3-边连通分量中。
同时令 \(H=G\cdot e\)，则 \(H\) 的 3-边连通分量划分就是将 \(G\) 的 3-边连通分量划分将 \(u,v\) 替换为 \(w\) 的结果，而且此时 \(G\) 和 \(H\) 中对应边由相同的切边等价关系。
证明：上述定理包含三个命题，我们逐一证明。
- 若 \(e=(u,v)\) 所在等价类大小为 \(1\)，说明 \(e\) 不是切边。由切边的定义，\(\lambda(u,v)\ge 3\)，所以 \(u,v\) 在同一个 3-边连通分量中。
- 设 \(\lambda(x,y)\ge 3\)，如果 \(x,y\) 都不在 \(\{u,v\}\) 中那么根据定理 2.1.1，存在三条从 \(x\) 到 \(y\) 的边不相交的路径。同时根据收缩过程可得对应路径仍然存在（收缩保留重边），所以此时 \(H\) 中仍然存在 \(3\) 条 \(x\to y\) 的边不相交的路径，即 \(\lambda(x,y)\ge 3\Rightarrow \lambda(x',y')\ge 3\)。\(x,y\in\{u,v\}\) 时同理。若 \(\lambda(x',y')\ge 3\) 而且 \(\lambda(x,y)<3\) 那么 \(x,y\) 存在大小为 \(2\) 的边割集，由于 \((u,v)\) 不可能作为切边，所以这两条边在 \(H\) 中都对应存在。
- \(G\) 中的每个圈可以通过收缩操作对应到 \(H\) 中的每个圈，反之亦然。于是 \(G,H\) 具有相同的切边等价关系。\(\square\)
定理 4.1.4. 图 \(G\) 中 \(d(v)=2\)，设 \(N(v)=\{u,w\}\)，其中 \(u,w\) 可以相等，那么 \(\{v\}\) 为一个单独的 3-边连通分量。
同时令 \(H\) 为在 \(G-\{v\}\) 中加入边 \((u,w)\) 的图（如果 \(u=w\) 就不添加自环），那么 \(H\) 的 3-边连通分量划分就是 \(G\) 的 3-边连通分量划分去掉 \(\{v\}\) 的结果，而且此时对应边有相同的切边等价关系。
证明：同样依次证明三个命题。
- \(\forall x\in V-\{v\}\)，由于 \((u,v),(w,v)\) 均为 \(v\) 和 \(x\) 的大小为 \(2\) 的点割集，因此 \(\lambda(v,x)\le2\)，于是 \(v\) 自己是一个 3-边连通分量。
- 设 \(\lambda(x,y)\ge 3(x\neq v,y\neq v)\)，根据定理 2.1.1，存在三条 \(x\to y\) 的边不相交的路径。将 \((u,v)\) 和 \((v,w)\) 替换为 \((u,w)\) 即可找到 \(3\) 条 \(H\) 中对应的路径，反之亦然。于是 \(\lambda_G(x,y)\ge 3\Leftrightarrow\lambda_H(x',y')\ge 3\)。
- \(G\) 中的每个圈仍然可以通过将 \((u,v),(v,w)\) 换为 \((u,w)\) 对应到 \(H\) 中的每个圈，反之亦然，所以切边等价关系不变。\(\square\)
4.1.4 一个想法
反复利用定理 4.1.3 和定理 4.1.4，我们可以将一张图的规模不断缩小，从而得到原图的 3-边连通分量划分。
事实上这个思路时可行的，需要依赖如下定理：
定理 4.1.5. 设 \(G\) 满足 \(\delta(G)\ge 3\)，则必定存在一条边 \((u,v)\) 满足 \((u,v)\) 不与其他边切边等价（等价类大小为 \(1\)）。
在证明这个定理之前，我们需要介绍切边等价和 dfs 树的关系。设 \(T\) 为 2-边连通无向图 \(G\) 的 dfs 树，由前面的部分可知每条返祖边覆盖了若干条树边。对于每条边，定义一个集合 \(C(e)\)：
- 若 \(e\) 是返祖边，则 \(C(e)=e\)；
- 若 \(e\) 是树边，则 \(C(e)\) 表示所有覆盖它的返祖边的集合。
显然 \(C(e)\) 中只有返祖边。由于 \(G\) 是 2-边连通图，根据定理 3.3.2，\(\forall e\in E,C(e)\neq\varnothing\)。
事实上，集合 \(C(e)\) 和切边等价有着密切的关系：
定理 4.1.6. 对于 2-边连通无向图 \(G=(V,E)\) 和 \(e_1,e_2\in E\)，\(e_1\stackrel c\sim e_2\) 当且仅当 \(C(e_1)=C(e_2)\)。
证明：考虑任意一条返祖边 \((u,v)\)。根据定义，所有满足 \((u,v)\in C(e)\) 的边 \(e\) 构成一个圈 \(C\)。
如果 \(e_1\stackrel c\sim e_2\)，那么对于该圈 \(C\) 由 \((e_1\in C)\Leftrightarrow(e_2\in C)\)，所以 \((u,v)\in C(e_1)\Leftrightarrow (u,v)\in C(e_2)\)，所以 \(C(e_1)=C(e_2)\)。
反之，如果 \(C(e_1)=C(e_2)\)，那么对于每条只含一条返祖边的圈 \(C\) 都有 \((e_1\in C)\Leftrightarrow(e_2\in C)\)。注意到对于边集 \(A,B\)，如果 \((e_1\in A)\Leftrightarrow(e_2\in A)\) 那么对于 \(A\oplus B\)（这里 \(\oplus\) 表示对称差），也有 \((e_1\in A\oplus B)\Leftrightarrow(e_2\in A\oplus B)\)。
根据连通图的圈空间的性质，\(G\) 中的每一个圈都可以表示称若干个只包含一条返祖边的圈的对称差，因此对于每个圈 \(C\) 都有 \((e_1\in C)\Leftrightarrow(e_2\in C)\)，即 \(e_1\stackrel c\sim e_2\)。\(\square\)
引理 4.1.1. 对于图 \(G\)，若树边 \(e_1,e_2\) 切边等价，则它们一定是祖先-后代关系。
证明：因为 \(e_1\stackrel c\sim e_2\)，所以根据定理 4.1.6，\(C(e_1)=C(e_2)\neq\varnothing\)。
任取 \(e\in C(e_1)\)，那么非树边 \(e\) 一定覆盖 \(e_1,e_2\)，而定理 3.2.1 又告诉我们 \(e\) 是返祖边，所以 \(e_1,e_2\) 一定是祖先-后代关系。\(\square\)
引理 4.1.2. 设 \(P\) 是 dfs 树上一条根到某个顶点的路径，那么以下情形不会出现：\(P\) 中按顺序存在四条边 \(e_1\sim e_4\) 满足 \(e_1\stackrel c\sim e_3,e_2\stackrel c\sim e_4\) 但 \(e_1\stackrel c\nsim e_2\)。
证明：反设存在这种情况。考虑 \(e\in C(e_1)\)，那么 \(e\in C(e_3)\)，而 \(e\) 覆盖 \(e_1,e_3\) 说明 \(e\) 覆盖 \(e_2\)，所以 \(e\in C(e_2)\Rightarrow e\in C(e_4)\)，反过来同理。于是 \(e\in C(e_1)\Leftrightarrow e\in C(e_4)\)，\(C(e_1)=C(e_4)\)，\(e_1\stackrel c\sim e_2\)，矛盾。\(\square\)
下面就可以证明定理 4.1.5 了。
证明（4.1.5)：考虑所有 \(\stackrel c\sim\) 等价类中最浅的树边上端顶点最深的那个等价类，假设这个等价类中最浅树边 \(e=(v,p_v)\)，那么依次证明：
- 树上没有其它边 \(f\) 满足 \(e\stackrel c\sim f\)。
反之，\(f\) 在以 \(v\) 为根的子树中。设 \(f=(u,p_u)\)，如果 \(p_u\neq v\)，根据引理 4.1.2 可以得到中间其他边会在一个新的等价类当中，其最浅的树边会更深。如果 \(p_u=v\)，由于 \(d(v)\ge 2\)，因此 \(v\) 不能引其他返祖边，则 \(v\) 还有其他子节点 \(y\)。于是 \((v,y)\) 所在等价类中，\((v,y)\) 作为最浅树边，与深度的最大性矛盾。 - 没有返祖边 \(f\) 满足 \(e\stackrel c\sim f\)。
否则说明只有返祖边 \(f=(a,b)\) 覆盖了 \(e\)，若 \(b\neq u\) 则 \((b,p_b)\) 所在等价类深度比 \(e\) 大，若 \(b=u\)，因为 \(d(v)\ge 2\) 所以 \(v\) 还有其他子节点 \(y\)，而 \((v,y)\) 所在等价类深度比 \(e\) 大，矛盾。
于是 \(e\) 所在等价类大小为 \(1\)，结论成立。\(\square\)
定理 4.1.5 告诉我们，在任意时可，要么有一个点的度数为 \(2\)，要么存在一个大小为 \(1\) 的边等价类。这两种情况，我们可以利用定理 4.1.4 和定理 4.1.3，将问题不断化为规模更小的子问题。
4.1.5 实现
下面介绍如何实现这个算法。
首先需要能够快速判断两条边是否切边等价，由定理 4.1.6，我们只需要判断它们对应的 \(C(e)\) 是否相同。
获取每条边的 \(C(e)\) 需要 \(O(|E|)\) 的时间，又只有树边定义的 \(C(e)\) 元素个数才会 \(\ge 1\)，所以获取所有边的 \(C(e)\) 需要 \(O(|V||E|)\) 的时间。
这个显然是我们无法接受的。考虑利用经典随机化技巧：对每一条非树边 \(e\)，随机一个 64 位权值 \(w(e)\)，然后定义 \(c(e)=\bigoplus\limits_{f\in C(e)}w(f)\)。当 \(C(e_1)=C(e_2)\) 时一定有 \(c(e_1)=c(e_2)\)，而 \(C(e_1)\neq C(e_2)\) 时 \(c(e_1)=c(e_2)\) 的概率只有 \(\frac 1{2^{64}}\) 量级，可以忽略不计。
现在问题变成了对树上的一条链异或上一个数，最终询问每条边的值。这是一个静态问题，直接树上差分即可在 \(O(|V|+|E|)\) 时间内解决。
设 \(G=(V,E)\) 是 2-边连通图，算法流程如下：
- 对于每条边 \(e\) 求出 \(c(e)\) 以判断两条边是否切边等价。
- 令 \(A=\{e|e\in E,e 所在切边等价类大小为 1\},D=\{v|v\in V,d(v)=2\}\)（默认边集可重，点集不可重）
- 对于每个顶点 \(v\) 维护其当前点度 \(d_v\) 以及所在的“3-边连通分量” \(L_v\)，最初 \(d_v=d(v),L_v=\{v\}\)，用并查集维护辅助图 \(H\)。
- 如果 \(A=\varnothing,D=\varnothing\)，去步骤 15。
- 如果 \(A\neq\varnothing\)，去步骤 6，否则去步骤 10。
- 任取 \(e=(u_0,v_0)\in A\)，令 \(A=A-\{e\}\)。
- 设 \(u,v\) 分别为 \(u_0,v_0\) 在 \(H\) 中所在的连通分量。
- 若 \(u=v\)，则说明这两边的连通分量已经处理，因此直接令 \(d_u=d_u-2\) 即可。否则令 \(L_u=L_u\cup L_v,L_v=\varnothing,d_u=d_u+d_v-2\)，在 \(H\) 中将 \(u,v\) 所在连通分量合并。
- 如果此时有 \(d_u=2\)，则令 \(D=D\cup \{u\}\)，去步骤 4。
- 任取 \(x\in D\)，令 \(D=D-\{x\}\)。如果 \(d_x\neq 2\) 则去步骤 4。
- 枚举 \(L_x\) 中的顶点，找到当前与它关联的两条边，记为 \((x,u)\) 和 \((x,v)\)。
- 如果 \(u,v\) 已经在 \(H\) 的一个连通分量中则回到步骤 4。
- 将 \((x,u)\) 和 \((x,v)\) 合并为 \((u,v)\)。
- 检查此时 \((u,v)\) 所在切边等价类大小是否为 \(1\)，如果是则令 \(A=A\cup\{(u,v)\}\)，回到步骤 4。
- 此时所有非空的 \(L_i\) 构成 \(G\) 的 3-边连通分量的一个划分。
4.1.6 演示
下面用粉色点表示 2 度点，不同颜色边表示不同 \(\stackrel c\sim\) 等价类，黑色边表示大小为 \(1\) 的等价类，紫色表示已经完成划分的 3-边连通分量。
4.1.7 时间复杂度
分析上述算法的时间复杂度。
根据算法流程，每次应用定理 4.1.3 或 4.1.4 时图的点数就会减小 1，因此步骤 4 的总运行次数为 \(O(|V|)\)。
考虑步骤 8 中集合的合并。用链表维护每个 \(v\) 的 \(L_v\)，因为只需要枚举 \(L_v\) 的所有顶点以及合并两个集合。于是步骤 8 总时间复杂度 \(O(|V|)\)。
考虑步骤 11 中的枚举顶点。当我们枚举 \(L_x\) 的顶点后，点 \(x\) 就会被单独拿出来，而 \(L_x\) 中的点自己形成一个 3-边连通分量。这说明 \(G\) 中一个顶点至多被枚举到一次，故这部分总时间复杂度为 \(O(\sum d(v))=O(|E|)\)。
所有步骤中并查集调用总次数为 \(O(|E|)\)，故这部分总时间复杂度为 \(O(|E|\alpha(|V|))\)。
剩下的步骤时间复杂度均为单次操作 \(O(1)\)，总时间复杂度 \(O(|V|)\)。
综上，整个算法的时间复杂度为 \(O(|E|\alpha(|V|))\)。
实际上 3-边连通算法有现行做法，不过限于篇幅原因就不再介绍。上面的做法所需引理较少，解法也比较自然，实际测试中运行效率也很高。
4.2 3-点连通
4.2.1 引入
在 2-点连通时，我们引入了描述点双连通分量的树结构——块割树和圆方树。在研究 3-点连通时，我们也有对应的树结构——SPQR 树。
在引入 SPQR 树的定义之前，利用定理 2.5.3 可得任意两个 3-点连通分量至多交于两个点。这两个点可以有边相连，也可以无边相连。
4.2.2 边的等价性
定义 4.2.1（割点对）. 对于 2-点连通无向简单图（下略）\(G\)，若某个二元点集 \(\{u,v\}\) 是 \(G\) 的点割集，则称 \((u,v)\) 是一对割点对。
在处理 2-点连通分量时，我们利用了边的等价性。在 3-点连通分量时，边仍然具有类似等价性。
我们取两个顶点 \(u,v\)，考虑顶点 \(u,v\) 定义的局部关系 \(\rho_{u,v}\)。
对于 \(e,f\in E\)，称 \((e,f)\in\rho_{u,v}\)，当且仅当存在一条经过 \(e,f\) 的路径除了路径端点外不能是 \(u\) 或 \(v\)。
定理 4.2.1. \(\rho_{u,v}\) 是等价关系。
证明：若 \((e_1,e_2)\in\rho_{u,v},(e_2,e_3)\in\rho_{u,v}\)，则我们将对应两段路径接起来能得到一个经过 \(e_1,e_3\) 的端点非 \(u,v\) 的路径。\(\square\)
考虑 \(\rho_{u,v}\) 将 \(E\) 划分的等价类 \(E_1\sim E_n\)，称如下情况为平凡情形：
- \(n=1\)。
- \(n=2\)，且其中一个等价类只包含边 \((u,v)\)。
定理 4.2.2. 设 \(|G|\ge 4\)，对于 \(u,v\in V\)，\(\rho_{u,v}\) 是平凡等价关系当且仅当 \((u,v)\) 不是割点对。
证明：若 \(u,v\) 是平凡等价关系，则 \(\forall a,b\in V-\{u,v\}\)，显然 \(a,b\) 有不连接 \(u,v\) 的邻边（否则与平凡矛盾），于是这两条边必然是 \(\rho_{u,v}\) 等价的，即 \(a,b\) 在 \(G-\{u,v\}\) 中连通。
若 \(u,v\) 不是平凡等价关系，于是存在两条不等价的边，根据定义有这两条边在 \(G-\{u,v\}\) 中不连通，于是 \(u,v\) 是割点对。\(\square\)
对于所有非平凡等价关系，我们通过取交能够得到一个全局关系 \(\rho_t\)：\(\forall e_1,e_2\in E\)，称 \((e_1,e_2)\in\rho_t\)，当且仅当对于所有非平凡 \(\rho_{u,v}\)，均有 \((e_1,e_2)\in\rho_{u,v}\)。
4.2.3 用割点对划分图
设 \((u,v)\) 是一个割点对。设关系 \(\rho_{u,v}\) 将边集划分为等价类 \(E_1\sim E_n\)，设 \(A,B\) 为若干等价类的并，满足 \(A\cap B=\varnothing,A\cup B=E,\min(|A|,|B|)\ge 2\)。
定义两张新图 \(G_A,G_B\)，其中 \(G_A\) 包含 \(A\) 中所有边再加上 \((u,v)\)，\(G_B\) 同理。我们加上的新边被称为虚边，用来表示划分过程。无论原图中是否存在对应的边，虚边是可以有重边的。
不断执行上述划分操作直到无法操作，这样就得到了一张图的原始点三连通分量。
注意到一个环 \(C_n\) 有很多划分方法，本质上是一个 \(n\) 边形的三角剖分。这是我们不希望看到的，我们需要合并这些环。
具体的，对于划分后的两个小图 \(A,B\)，如果它们有共同的虚边，那么我们定义 \(A,B\) 合并的结果是将点集合并，将边集合并然后去掉共同虚边。容易发现这是划分的拟过程。
我们将所有可合并的环合并成若干个大环，将所有可合并的偶极图（只有两个点且两点之间连接很多条重边的图）合并成一个大偶极图，最终结果就是 \(G\) 的点三连通分量。
4.2.4 SPQR 树
所有点三连通分量可以分为四类：
- Q(Trivial)：2 个点一对重边的图，作为边界情况讨论。由于我们设 \(G\) 是简单图，所以我们这里忽略 Q 情形。
- S(Serial)：至少 3 个点的环。环中的每一条边可以是原图中的边，也可以是虚边。
- P(Parallel)：至少 3 条边的偶极图。由于简单图的假设，因此其中至多一条边是原图的边，其余边均为虚边。
- R(Rigid)：3-点连通子图，其中每条边可以是原图中的边或者虚边。
定义 4.2.2（SPQR 树）. SPQR 树 \(T=(V,E)\)，其中 \(V\) 表示所有点三连通分量的集合，根据上面的结论可以分为四类。 对于 \(u,v\in T\)，\((u,v)\in E\) 当且仅当 \(u,v\) 具有共同虚边，即它们是可合并的。
定理 4.2.3. 对于 2-点连通无向图 \(G\)，其 SPQR 树是一棵树。
定理 4.2.3. 对于 2-点连通无向图 \(G\)，其 SPQR 树是唯一确定的。
4.2.5 构造
根据定义，我们可以得到一个 \(O(|V||E|^2)\) 的做法——不停寻找原图的割点对，将原图划分为更小的三连通分量。
事实上 SPQR 树可以线性时间内构造，限于篇幅就不展开。
4.2.6 应用
SPQR 树有较为广泛的应用，下面举两个例子：
例. 给定 2-点连通无向简单图 \(G\)，找出其所有割点对。
考虑 \(G\) 的 SPQR 树，注意到 \((u,v)\) 是割点对当且仅当 \(\rho_{u,v}\) 不平凡，而不平凡的 \(\rho_{u,v}\) 在最终 SPQR 树中的表现只有两种：
- 作为 SPQR 树中的一条虚边。
- 作为圈图的虚边被合并。
因此我们可以得到：\((u,v)\) 是割点对，当且仅当 \((u,v)\) 是 SPQR 树上的虚边，或 \(u,v\) 是 SPQR 树中 \(S\) 型顶点（环）中的不相邻顶点（因为它们被合并了）。
例. 3-点连通平面图，又称多面体图，是表示凸多面体结构的图，可以理解为凸多面体的球极投影。
定理 4.2.5（Steinitz）. \(G\) 为表示凸多面体结构的图，当且仅当 \(G\) 是 3-点连通平面图。
定理 4.2.6. 若 \(G\) 是多面体图，则当选定无穷平面后，在拓扑意义下 \(G\) 具有唯一平面嵌入。
这些定理和本文关系不大，这里不做展开。
5 总结
本文介绍了图的连通性理论，从连通性的定义出发，介绍了 \(k\)-连通问题的一般解法，以及 \(k\) 较小时的特殊做法和应用。本文挑选的做法在 OI 中都是有实际应用的。
同时，本文对大家熟悉的 2-点/边连通问题作了更本质的讲解，并作了一个自然的推广——3-点/边连通问题。希望大家再阅读本文后能对 2-连通问题有更深入的了解，对 3-连通问题有一定的认知。
不过，对于 \(k\)-点连通分量的问题，目前并没有高效实用的做法。希望本文能起到一个抛砖引玉的作用，吸引更多读者研究图论以及组合数学类的问题。
感谢大家阅读！
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