最短路网络

news/2025/11/29 17:56:02/文章来源:https://www.cnblogs.com/aurora5090/p/-/shortpath-network

学长 Mikakoko 在 ICPC 比赛中退役了，根据惯例，他要写一篇小作文（手动滑稽）。

最短路相关的问题太多啦，这篇小作文只能简单介绍其中的一部分。
在连通的无向正权图上，给定源点 $S$，我们能计算得到所有 $\text{dis}(S, x)$。

如果一条边 $(u \xrightarrow{w} v)$ 满足 $\text{dis}(S, u) + w = \text{dis}(S, v)$
那么我们将这条边加入最短路网络。

这样我们可以得到对应的最短路网络，是一个有源点 $S$ 的 $\text{DAG}$。
因为存在源极点，在这个 $\text{DAG}$ 上还必然可以生成一颗最短路树。

为什么建立这两个结构呢？这两个结构是正权图的最短路重构结构。
使用它们，能更好地帮助我们注意到一些信息。

经典题目
套用分治
无向图，删边最短路
有向图，单位边权删边最短路（Roditty, Zwick, 2005）

经典题目

我们用这些题目了解一下最短路网络的功能，只保留有用的关键信息！

abc375_g

对于正边权的无向图，给定起点 $S$ 和终点 $T$，求最短路必经点，必经边。
$n,m \le 10^5$

P.S. 就算是有向图也是一样的。

Solution 1

在原图上，以 $S$ 作为起点；在反图上，以 $T$ 作为起点；
分别求出计算出 $S, T$ 到每个点的最短距离，建立两个最短路网：

对于顶点：满足 $\text{dis}(S, x) + \text{dis}(T, x) = \text{dis}(S, T)$，那么加入最短路网
对于边：满足 $\text{dis}(S, u) + w + \text{dis}(T, v) = \text{dis}(S, T)$，那么加入最短路网

在 $\text{DAG}$ 上 $dp$，可以求出沿最短路，走到每个点的方案数 $f, g$。
如果 $f (x) ⋅ g (x) = f (T) = g(S)$，那么 $x$ 是必经点。
如果 $f (u) ⋅ g (v) = f (T) = g(S)$，那么 $(u, v)$ 是必经边。
注意 $f, g$ 可能很大，需要自己取几个大质数做哈希。

Solution 2

让 Tarjan 爷爷求最短路网的割边、割点。它们就是对应的必经边和必经点。

在这个问题上，看起来确实是后者这个算法更好，因为它是确定性算法。

但是前者的思想 “判断性问题转计数” 是非常重要的，而且在 ICPC 中也有考察过。

CF1005F

给定一张简单无向图，边权为 $1$。
输出 $S$ 为起点本质不同的最短路树的数量。
此外你要输出 $k$ 颗不同的最短路树，保证总输出量在合理范围内。
$n,m,k \le 2 \cdot 10^5$

Solution

对于有唯一源点的 DAG，每个点都有入度种父亲可以选择。故方案数就是最短路网上每个节点的入度的乘积。我们考虑一棵树，树上只有一个点没有父亲，其余都有。如果已经确定了一个没有父亲的结构（在本题是源点 $S$），那么这个 DAG 上其他点任意选择父亲，最后产生的一定还是树形图。

输出方案的话可以随便 $dfs$ 搜索一下。

CF1076D

给定一张正边权简单无向图，你要删到只剩 $k$ 条边。
在最后的图上，如果 $x$ 到 $1$ 的最短距离和原图一样，那么 $x$ 是一个好点。
请构造一个删边方案，使得好点最多。
$n,m,k \le 3 \cdot 10^5$

Solution

在 $\text{DAG}$ 的基础上可以随便搜出来一颗最短路树。
或者在 $\text{Dijkstra}$ 过程里记录前驱也能随便得到一个。

根据最短路树的产生方法，树上的 $\text{dis}(1, x)$ 就是最短路距离。
我们在 $1$ 的最短路树上任找 $k$ 条边，使得最后的结构与 $1$ 连通即可。
有可能树上没有 $k$ 条边，这个时候选一些别的边就行。

CF545E

给定一张正边权简单无向图，和一个根 $S$。
求边权和最小的，以 $S$ 为根的最短路树。
需要构造方案。
$n,m \le 3 \cdot 10^5$

Solution

在 $\text{DAG}$ 的基础上可以随便搜出来一颗最短路树。
在 $\text{Dijkstra}$ 过程里记录前驱也能随便得到一个。
但是最短路树的形态很多，并不是任何一颗都是边权和最小的。

手玩一下可以发现，当多条边可以松弛某个点，选择尽可能小的边来松弛，就能使得总边权最小。
感性理解：这样做相当于把长边拆成多个短边（松弛了更多的点）。

实现时，考虑一个 $\text{Dijkstra}$ 的特性，我们有一个优先队列，越往后点权越大。
如果多个点都有边可以松弛某个点，越晚松弛的，点权越大，那么边权越小，所以可以：

在跑最短路的时候，如果满足三角不等式，那么正常更新。
如果三角不等式恰好取等，那么把目前使用的边设置为树边（覆盖之前的）。

套用分治

这一类题的本质是分治最短路，即在分治结构上跑最短路。
并不必须依赖最短路 “网络” 的结构，所以这个只放了一个相关例题。

CodeChef-QGRID

有一个 $3 \times n$ 的网格图，正边权，初始所有点权为 $0$，有 $q$ 次操作：

使得 $u, v$ 所有最短路径上的点权加 $x$，保证询问中的最短路径唯一；
查询一个点的点权。

$n,q \le 10^5$

Solution

如果 $u, v$ 之间的最短路经 $S$ 过了点 $m$，那么 $S$ 会出现在以 $m$ 为根的最短路树上。

我们先对这个网格图分治，每次以分治中点的 $3$ 个点为根，建立最短路树，共 $3n$ 棵。
如果最短路经过了 $\text{mid}$，则 $u,v$ 只有如下的两类情况：

$u,v$ 分居 $\text{mid}$ 两侧，可能出现在 $\text{mid}$ 同列上。
$u,v$ 在 $\text{mid}$ 同侧，走出了一个 $\text{U}$ 形路线。

不管哪种情况，只要我们分治时把点集分为 $[L,\text{mid})$ 和 $(\text{mid},R]$，那么一旦最短路径出现在了 $\text{mid}$ 为根的最短路树上，就不会出现在其他层的最短路树上了。

随后在线处理修改和询问，因为查询非常特殊，是单点查询，所以可以对修改操作进行转化：

对于修改 $(u,$ 根$, v)$ 的简单路径加一个值 $c$，可以转化成单点加（对 $u, v$ 加 $c$，对根减 $c$）
这样技术处理以后，单点查询只需要在 $3\log$ 棵树上，对询问的点 $x$，做 $x$ 子树的区间查询。

时间 $O((n+q) \log^2 n)$，空间 $n \log n$。

无向图删边最短路

这类问题叫做 Replacement Paths 问题，意思是如果替换了图上的一条边，最短路会如何变化？
如果把边权替换为 INF，则可以认为等效删除了这条边。

[TJOI2012] 桥

给定带权无向图，独立删除每条边。每次你要回答 $1$ 到 $n$ 的最短路长度。
$n,m \le 2 \cdot 10^5$

Solution

我们找 $1$ 到 $n$ 的任意一条最短路（是一条简单路径，后面称为链）
那么不在链上的边，在删除后一定不影响答案。

我们考虑先找出这样一条链来，然后以 $1, n$ 为根分别建立最短路树。
使得这两颗树同时包含这条链。实现时可以从链的两端开始，在 DAG 上搜索。

在 $1$ 的最短路树上求出所有 $\text{lca}(x, n)$，叫做 $L_x$
在 $n$ 的最短路树上求出所有 $\text{lca}(x, 1)$，叫做 $R_x$

观察，经过非链边 $(u, v)$ 的最短路一定可以形如 $1 \to L_u \to u \to v \to R_v \to n$。
所以在一开始的最短路链上，如果删除了 $[L_u, R_v]$ 内的任一条边，则可以用这条路径取代。
我们考虑维护出链上每条边被删除后的新答案，这条路径的代价 $c = \text{dis(1,u)}+w+\text{dis(v,n)}$
对链上的区间 $[L_u, R_v]$ 里对应的边，做 $\text{chmin}( \text{val}, c)$，这样最后能计算出删除任意链边的答案。

注意这个过程是离线的，可以利用 $\text{multiset}$ 差分，来避免写线段树。
注意无向图的 $u,v$ 可以反过来。

CF1163F

给定带权无向图，独立修改每条边。每次你要回答 $1$ 到 $n$ 的最短路长度。
$n,m \le 2 \cdot 10^5$

Solution

根据套路，取出 $(1, n)$ 路径上的这条链，然后建两颗最短路树。
如果修改的是非链边，答案为 $\text{dis}(1, u) + \text{dis}(v, n) + w$ 和最短路取 min。
如果修改的是链边，则在 $\text{dis}(1, u) + \text{dis}(v, n) + w$ 基础上，再算断边的情况。
注意无向图的 $u,v$ 可以反过来。

Wannafly2 Delete

给一个带正边权的 DAG，独立删除每个点。每次你要回答 $1$ 到 $n$ 的最短路长度。
题目链接

Solution

妙妙题，考虑拓扑序，假设 $1,n$ 在 $x$ 的两侧，在删除了点 $x$ 以后，新的最短路上必然出现了一条边从 $x$ 的左侧连接到右侧。

于是枚举每条边 $u,v$，用 $\text{dis}(1,u) + w + \text{dis}(v,n)$，更新拓扑序上 $[u, v]$ 区间里的点的答案即可。
有一些细节，代码可以参考 [ link ]

在正图上 $S$ 可达 $u$，且反图上 $T$ 可达 $v$，才能枚举这条边（否则一定不会出现在最短路上）。
枚举的边需要 $u$ 的拓扑序比 $v$ 的小，能更新的范围是拓扑序的 $[u+1, v-1]$（因为端点被删掉就没用了）。

有向图删边最短路

我们刚刚解决了无向图上的情况，但关于有向图删边最短路：

如果是单位边权图，可以利用随机化和根号分治 $O(m \sqrt{n \log n})$
如果是一般带权图，目前人类不会加速，可以申请图灵奖/哥德尔奖

P14184

给定一简单有向无权图 $G=(V,E)$，对于每条边 $e$，计算 $G\setminus\{e\}$ 中 $1$ 到 $n$ 的最短路。

Solution

《Replacement Paths and k Simple Shortest Paths in Unweighted Directed Graphs》
作者：Liam Roditty 和 Uri Zwick [ link 链接 ]

根据套路，我们先处理出来 $1$ 到 $n$ 的一条最短路链。
如果删除的边不在链上，那么不影响最短路的长度。

同时，我们依然发现，最短路径只会离开链一次。称那段离开最短路径的部分长度为 $L$，使用根号分治的技巧（Big Small），将路径长度 $L$ 按阈值 $B$ 分成两类。

Part1

对于长度 $L$ 小于等于 $B$ 的部分，我们有一个观察，若链上的点 $x$ 在 $y$ 左侧，则在进行删边以后，新的 $dis(x, y)$ 不会小于 $y - x$。

我们接下来进行 $B + 1$ 轮计算，第 $i$ 轮将所有 $i \text{ mod } (B+1)$ 相同的点取出（黄点）。
我们枚举离开链的路径段（从每个黄点处离开，从右侧蓝点回到链上，且不跨过下一个黄点）

称链上所有点到 $1$ 的距离为 $\text{d1}(x)$，到 $n$ 的距离为 $\text{dn}(x)$
暂时删掉在链上的边，在剩下来的图上面运行下面这个算法：

将所有蓝点的新的 $\text{dis}(x)$ 距离记为 $INF$，而黄点的 $\text{dis}(x) = \text{d1}(x)$ 不变；
队列里初始只放入第一个黄点 $a$，开始跑 bfs，如果遇到了一个蓝点 $b$，更新它的 $\text{dis}$。
和无向图的做法一样，此时我们可以更新链上 $a$ 到 $b$ 的路径上的这些边的答案。
注意这里的 $a$ 一直都没有变，所以可以用后缀的最值更新每两个黄点之间的答案。
当下个黄点和队头的 $\text{dis}$ 一样时，放入队头（类似 $\text{01 bfs}$ 的做法）。