如百钱百鸡问题，枚举法和穷举法有何不同

百钱百鸡问题是一个经典的数学谜题，要求用100文钱买100只鸡，其中公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡1文钱三只。求解公鸡、母鸡、小鸡的数量组合。枚举法和穷举法在解决该问题时，核心思路都是遍历所有可能的组合，但具体实现和侧重点存在差异。以下是详细对比及代码示例：

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1. 问题分析

设：

• 公鸡数量为 ( x )，
• 母鸡数量为 ( y )，
• 小鸡数量为 ( z )。

根据题意，需满足以下两个方程：
[
\begin{cases}
x + y + z = 100 \quad \text{（总数为100只）} \
5x + 3y + \frac{z}{3} = 100 \quad \text{（总钱数为100文）}
\end{cases}
]
由于小鸡数量 ( z ) 必须是3的倍数（因为小鸡1文钱买3只），可引入变量 ( k = \frac{z}{3} )，将问题转化为：
[
\begin{cases}
x + y + 3k = 100 \
5x + 3y + k = 100
\end{cases}
]
进一步化简后，可通过遍历 ( x )、( y )、( k ) 的可能值求解。

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2. 枚举法与穷举法的区别

维度	枚举法（编程）	穷举法（数学）
核心思想	通过代码逻辑遍历所有可能的 ( x )、( y )、( z )，并筛选符合条件的解。	通过数学方程推导变量范围，理论上遍历所有可能解（可能结合数学技巧减少计算量）。
变量范围	依赖代码显式定义遍历范围（如 ( x \in [0, 20] )）。	通过数学不等式推导变量范围（如 ( x \leq 20 )）。
优化方式	通过代码剪枝（如提前终止无效循环）或并行化提升效率。	通过数学约束（如 ( z ) 是3的倍数）直接缩小范围。
结果形式	直接输出所有符合条件的解（如 (4, 18, 78)）。	理论上证明解的存在性或列出所有解（可能结合组合数学）。
适用场景	适合编程实现，尤其是需要具体解的场景（如算法竞赛、实际工程）。	适合数学分析，尤其是需要理论证明或解的数量统计的场景。

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3. 代码示例对比

(1) 枚举法（编程实现）

通过三重循环遍历所有可能的 ( x )、( y )、( z )，并筛选符合条件的解：

solutions = []
for x in range(0, 21):  # 公鸡最多买20只（5*20=100）for y in range(0, 34):  # 母鸡最多买33只（3*33=99）z = 100 - x - yif z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100:solutions.append((x, y, z))
print(solutions)  # 输出所有解

优化版本（减少循环次数）：

solutions = []
for x in range(0, 21):for y in range(0, 34):z = 100 - x - yif z >= 0 and z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100:solutions.append((x, y, z))
print(solutions)

(2) 穷举法（数学推导 + 编程实现）

通过数学约束直接推导变量范围，减少遍历次数：

1. 由 ( x + y + z = 100 ) 和 ( 5x + 3y + \frac{z}{3} = 100 )，消去 ( z ) 得：
   [
   14x + 8y = 200 \implies 7x + 4y = 100 \implies y = \frac{100 - 7x}{4}
   ]
2. ( y ) 必须为非负整数，因此 ( 100 - 7x ) 需能被4整除且 ( \geq 0 )，即：
   [
   x \in {0, 4, 8, 12, 16, 20}
   ]
3. 遍历 ( x ) 的可能值，计算对应的 ( y ) 和 ( z )：

solutions = []
for x in range(0, 21, 4):  # x 只能是0,4,8,12,16,20y = (100 - 7 * x) // 4z = 100 - x - yif 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100 and z % 3 == 0:solutions.append((x, y, z))
print(solutions)  # 输出所有解

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4. 关键区别总结

1. 变量范围定义：

   • 枚举法：通过代码显式定义遍历范围（如 range(0, 21)）。
   • 穷举法：通过数学推导直接缩小范围（如 ( x \in {0,4,8,12,16,20} )）。

2. 优化方式：

   • 枚举法：依赖代码剪枝（如 if z >= 0）。
   • 穷举法：依赖数学约束（如 ( 100 - 7x ) 需被4整除）。

3. 效率：

   • 枚举法：循环次数较多（如三重循环）。
   • 穷举法：循环次数显著减少（如单层循环）。

4. 适用性：

   • 枚举法：适合编程实现，尤其是问题复杂时（如多变量、多约束）。
   • 穷举法：适合数学分析，尤其是问题可化简为线性方程时。

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5. 最终解

无论是枚举法还是穷举法，百钱百鸡问题的解均为：
[
(0, 25, 75), \quad (4, 18, 78), \quad (8, 11, 81), \quad (12, 4, 84)
]
枚举法通过暴力遍历找到解，而穷举法通过数学推导优化了遍历过程，两者本质都是“遍历所有可能”，但穷举法更高效。