杂题选讲
CF173D Deputies
特里尼塔利亚王国恰好拥有 n = 3k 座城市。所有城市都位于贯穿王国的特里西西比河沿岸。其中部分城市位于河流一侧，其余城市则分布于对岸。
若干城市之间建有桥梁相连。每座桥梁都连接着分处河流两岸的两座城市。任意两座城市之间最多仅有一座桥梁。
新近登基的特里斯坦三世国王正忙于派遣代表驻守各城市。王国共有 k 名代表，国王欲指派每名代表负责管辖恰好三座城市。但任何代表均不得管辖被桥梁直接连接的城市——代表可能通过设置过高过桥费牟取私利，这将损害国王声誉。
若存在可行方案，请协助特里斯坦三世国王完成代表与城市间的分配工作。
首先，有一边的点数是 \(3\) 的倍数，那么你完全可以只把两边的点自己三个三个配对，然后这样就能保证合法。
不然的话，两边的点数一定是一遍 \(\bmod3=1\)，一边 \(\bmod 3=2\)，那么，就会有两种情况：
对于第一种情况，直接找是否存在一个度数小于 \(P-2\) 的点即可（\(P\) 是右部的度数）。
对于第二种情况，因为第一种情况不合法，所以左边每个点都最多与右边的一个点没有连边，记这个点为 \(d_i\)，就是要找两对 \(d_i\) 相同的点对配对即可。
CF875F
在一个中世纪王国，经济危机肆虐。牛奶价格下跌，经济指标日益恶化，国库资金不断流失。为扭转局势，查理·桑尼菲斯国王决定让他 n 位王子迎娶嫁妆最丰厚的新娘。
为寻找联姻对象，国王向邻国发出请求。不久后多个使团带着 m 位未婚公主抵达。接见宾客时，查理得知第 i 位公主的嫁妆价值 w_i 枚金币。
尽管故事发生在中世纪，社会却盛行进步思想：任何人都不能强迫公主嫁给不喜欢的王子。因此每位公主可以选择两位王子，愿意成为其中任意一位的妻子。王子们则没那么幸运，他们在择偶问题上必须遵从父王旨意。
掌握每位公主的嫁妆数额与择偶偏好后，查理希望以最有利于国库的方式安排婚礼——使所有王子所获新娘嫁妆总额最大化。注意并非所有王子或公主都必须结婚，每位王子最多迎娶一位公主，反之每位公主也最多嫁给一位王子。
请协助国王以最有利于国库的方式安排子嗣的婚姻。
首先，如果我们选出若干个公主，我们如何判断是否合法呢？遇到这种两个点有关的，我们可以考虑图论建模（包括之前的 P6775 [NOI2020] 制作菜品 之类的都是这个套路）。
注意到对于每个连通块都是独立的。对于每一个连通块，首先如果公主个数 \(m\) 要大于点数 \(n\)，则显然不合法。所以 \(m\) 只可能是 \(n-1\) 或 \(n\)。对于 \(m=n-1\)，我们可以随便定一个根，每条边与儿子配对。对于 \(m=n\)，相当于是一个基环树，我们把非树边和根配对即可。
所以，一个连通块合法，当且仅当 \(m=n\) 或 \(m=n-1\)，即是一个树或基环树。现在相当于是每条边有一个权值，要求边权和最大的生成基环森林，直接 Kruskal 就行。
CF1137C Museums Tour
在\(N\)国，有\(n\)座城市通过\(m\)条单向道路相连。尽管这个国家看似平凡，却有两件趣事：其一，这里的一周包含\(d\)天；其二，\(N\)国的每座城市都恰好设有一座博物馆。
旅行社"开放博物馆"正在为对博物馆感兴趣的游客开发新项目。工作人员清楚每座博物馆的开放日程。旅行必须从首都——编号为\(1\)的城市出发，且首日必须是当周的第一天。游客每日会身处某座城市，若当地博物馆当日开放便可参观展览，每日结束时旅行要么终止，要么游客通过道路前往另一座相连城市。\(N\)国的道路系统设计使得通行总需耗费一夜时间，且所有道路均为单向。旅行期间允许重复访问同一城市。
您需要设计一条旅行路线，使得沿途能参观到的不重复博物馆数量达到最大。
发现 \(d\le 50\)，所以我们不难想到拆点，将每个点 \(u\) 拆成 \((u,k)\)，代表 \(u\) 这个点的第 \(k\) 天，然后将开放的点标为黑点，相当于要求从 \((1,1)\) 出发最多能走到多少个黑点。但是这样算可能会重复，即我们可能会把 \((u,x),(u,y)\) 算两遍。
但是有一个非常好的性质，对于每一个 \(1\le x,y\le d\)，\((u,x)\) 和 \((u,y)\) 要么互相不可达，要么在同一个 SCC 里。
证明：如果 \((u,x)\) 可达 \((u,y)\)，那么相当于在原图上，有一条在 \(\text{mod }d\) 意义下长度为 \(y-x\) 的环，那么我们只需要从 \(y\) 开始沿着这个环走 \(d-1\) 次，最终的时间就是 \(y+(d-1)(y-x)\equiv x\pmod d\)。
所以，我们缩点的时候，顺便求一下有多少个不同的点即可。
CF1610F Mashtali: a Space Oddysey
Lee打算接近Mashtali的心以实施他邪恶的计划（具体内容尚未可知），因此决定美化Mashtali的图。但他为自己制定了几条规则。同时他忙于计划而无暇顾及此类琐事，于是向你求助。
Mashtali的图是一个具有 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边的无向带权图，边权均为 \(1\) 或 \(2\)。Lee希望通过给Mashtali的图定向，使其达到极致的美观。
Lee认为有向带权图的美观度等于其中Oddysey顶点的数量。若顶点 \(v\) 满足 \(|d^+(v) - d^-(v)| = 1\)，则称其为Oddysey顶点，其中 \(d^+(v)\) 表示从 \(v\) 出发的边权之和，\(d^-(v)\) 表示指向 \(v\) 的边权之和。
请通过给Mashtali的图定向，找出Lee能实现的最大美观度，并给出任意一种实现方案。
注意：每条边都必须被定向。
首先，如果全都是边权为 \(1\) 的边，那么有个经典方法，新建一个虚点 \(S\)，然后把每个度数为奇数的点向 \(S\) 连一条边，然后跑欧拉回路。欧拉回路的性质就是出度等于入度，所以在原图上根据欧拉回路定向的边满足奇数点的出度与入度的差为 \(1\)。可以证明这是最优的方案（因为偶数点做不到，我们的方案能让所有奇数点都做到）。
然后考虑有边权为 \(2\) 的边，遇到这种出现一个莫名其妙很小的数，一般考虑拆点，将每个点 \(u\) 拆成两个点，对于原图中边权为 \(1\) 的边，新图上连 \(u,v\)，对于原图中边权为 \(2\) 的边，新图上连 \(u+n,v+n\)。
后面不会了。
※ 有关欧拉回路的 Trick
一、求出欧拉回路后，用欧拉回路定向。
二、对于边数是偶数的图，求出欧拉回路后黑白染色，对于每个点相连的边，黑色边与白色边数量相等。
IMO D1T3
有 \(4n\) 个小球，编号依次为 \(1,2,3,...,4n\)。每个球有一个颜色，保证共有 \(n\) 种颜色且每种颜色出现四次。请构造一个把 \(4n\) 个球分成两半的方案，使得：
- 两部分编号之和相等。
- 每种颜色在每一端都会出现两次。
遇到像这种编号之和相等，且编号是连续的问题，不妨直接加强条件——令 \(i\) 与 \(4n-i+1\) 配对，形成 \(2n\) 个 pair，要求这些 pair 要一起被选入同一个集合。
然后，假如我们把颜色看成点，把每个 pair 看成边，则我们会得到一个有 \(n\) 个点 \(2n\) 条边的一个图，我们想要黑白染色这 \(2n\) 条边，使得对于每个点，恰有 \(2\) 个白边 \(2\) 个黑边，于是我们就用上面的性质，在这个图上跑欧拉回路即可。
CF1163F Indecisive Taxi Fee
给定一个无向带权图，\(q\) 次询问，每次询问临时改一条边的权值，问改后 \(1\to n\) 的最短路。
首先求出 \(1\) 到每个点的最短路 \(a_i\)，以及 \(n\) 到每个点的最短路 \(b_i\)。如果这条边的边权是变小了，即 \(c<w\)，那么答案为 \(\min(a_n,a_u+b_v+c,a_v+b_u+c)\)，分别对应最短路是原来的最短路，以及最短路变为了 \(1\sim u\to v\sim n\) 的两种情况。
考虑边权变大的情况，如果这条边不在原先的最短路上，则最终的答案不会改变。接下来只需要处理 \(w\) 变大且在原先的最短路的情况。考虑分别建出 \(1\) 和 \(n\) 为根的最短路树。
不妨设我们要改的边是 \((u,v)\)，则有两种情况：一种是改完了以后最短路还是 \((u,v)\)，另一种是不经过 \((u,v)\)，相当于是删掉 \((u,v)\) 之后求最短路。我们想要证明，对于后一种情况来说，最后的最短路一定是先在第一棵树上走一段路 \(1\to p\)，然后经过一条边 \(p\to q\)，然后再在第二棵树上走到 \(n\)。
不妨设 \(x_i\) 表示在以 \(1\) 为根的最短路树上，\(i\) 与 \(n\) 的 LCA 对应的边，\(y_i\) 同理。设我们要改的边为 \(k\)。
首先可以证明 \(x_i< y_i\)，不然的话，我们相当于是重复经过了 \(x_i\sim y_i\) 这些边，显然不优。
接下来证明只会走一条非树边：对于任意一条边 \(p,q\)，如果 \(y_q < k\)，那么有 \(x_q<k\)，那你完全可以直接沿着第一棵树走到 \(q\)，而不需要走到 \(p\)，然后再通过非树边走到 \(q\)。所以我们不会走那些 \(y_q<k\) 的边。
同时，对于那些 \(y_q\ge k\) 的边，我们先按照最短路树走到了 \(p\)，此时走 \(p,q\) 这个非树边，接下来你从 \(q\) 走到 \(n\) 的任意一条路径都不如直接沿着第二棵最短路树走到 \(n\)（因为此时 \(y_q\ge k\)，所以可以不经过 \(k\) 走到 \(n\)），所以你最多只会走一条非树边。
因此结论得证。最多只走一条非树边。
有了这个结论之后，我们可以枚举每一条边 \((u,v)\)，他会对哪些 \(k\) 产生贡献呢？显然是 \(k\in [x_u+1,y_v-1]\) 的那些边，此时的最短路等于 \(a_u+w+b_v\)，相当于是一个 \(m\) 次区间取 \(\min\) 后求数组的问题。
这个可以这么做：我们把每次操作取 \(\min\) 的那个数从小到大排序，后面的操作不会更改之前的操作已经覆盖的答案。对于一个点，如果他已经被取 \(\min\) 了，我们就在 \(i\) 与 \(i+1\) 之间连一条边。然后每次对 \([l,r]\) 的操作相当于是找到每个连通块的头部，然后把他改掉，可以用并查集做。
