木棍分割-dp，前缀和优化
P2511 木棍分割
题意
有 \(n\) 根木棍，给出长度，要分成 \(m\) 段，问总长度最大的一段最小长度是多少，并求出其方案数对 \(10007\) 取模的结果。
思路
第一问很容易想到用二分，第二问也比较容易想到用 \(dp\) 。二分怎么做这里不做赘述。
考虑 \(dp\) ，我们要满足长度最小，且分出来的段数小于 \(m+1\) ，很容易设计出一维给段数，一维放长度不合适，但是可以存已经做到哪里，也就是 \(dp[i][j]\) 表示到 \(i\) 分出 \(j\) 块的方案数。
状态转移：
\[dp_{i,j} = \sum_{len_j-len_k \leq milen} dp_{i-1,k}
\]
此时两层枚举加上找 \(k\) 时间复杂度 \(O(n^3)\) ，发现找 \(k\) 可以用前缀和优化，而且长度只会递增所以我们可以预处理出每个点的 \(k\) 。空间还要压一下。
code
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
constexpr int maxn = 5e4+10;
constexpr int mod = 1e4+7;
void read(int &);int n,m;
int li[maxn];
int dp[maxn],sum[maxn],st[maxn];
int sumdp[maxn];// 对对应dp作前缀和inline void add(int &x,const int y)
{x+=y;if(x>=mod){x-=mod;}else if(x<0){x+=mod;}
}bool check(int x)
{int cnt=1,len=0;for(int i=1;i<=n;++i){if(li[i]>x) return 0;if(len+li[i]>x){++cnt;len=li[i];}else{len+=li[i];}if(cnt>m){return 0;}}return 1;
}int binary(int l,int r)
{int mid,ans=0;while(l<=r){mid=l+((r-l)>>1);if(check(mid)){ans=mid;r=mid-1;}else{l=mid+1;}}return ans;
}int _dp(int x)
{for(int i=1,id=1;i<=n;++i)// 预处理k{if(sum[i]<=x){dp[i]=1;// dp[i][1]}while(id<=n && sum[i]-sum[id]>x){++id;}st[i]=id;}for(int i=1;i<=n;++i)// dp[i]的前缀和{add(sumdp[i],sumdp[i-1]+dp[i]);}int ret=0;for(int i=2;i<=m+1;++i){for(int j=1;j<=n;++j){dp[j]=sumdp[j-1];// 上一个dp的综合if(st[j]-1>=0) // 存在{add(dp[j],-sumdp[st[j]-1]);// 减去dp_lst[st-1]}}for(int j=1;j<=n;++j){sumdp[j]=0;//前缀和add(sumdp[j],sumdp[j-1]+dp[j]);}add(ret,dp[n]);}return ret;
}signed main()
{#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("cjdl.in","r",stdin);freopen("cjdl.out","w",stdout);#endif // ONLINE_JUDGEread(n);read(m);for(int i=1;i<=n;++i){read(li[i]);sum[i]=sum[i-1]+li[i];}int len=binary(1,sum[n]);printf("%lld ",len);int ans=_dp(len);printf("%lld\n",ans);return 0;
}inline void read(int &x)
{x=0;int f=1;signed c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-'){f=-1;}c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}x*=f;
}
