倍增并查集

更新日志

2025/11/24：开工。

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概念

类似于两个区间内，各个位置一一对应连边的问题，就可以考虑使用倍增并查集解决。比如说，QOJ9904。

思路

以例题为例，转化后就是相当于给一个区间每对左起第 \(i\) 个和右起第 \(i\) 个连边。我们令 \(a(x,t)\) 表示 \(x\) 处往右 \(2^t\) 的区间，令 \(a(x+n,t)\) 表示 \(x\) 处往左 \(2^t\) 的区间。初始时，在并查集上合并所有 \(a(x,0)\) 与 \(a(x+n,0)\)。

考虑两个区间一一连边，我们将原区间拆成 \(\log\) 个整次区间，然后对每个整次区间连边。

假如我们当前要给 \([l,l+2^t-1]\) 与 \([r-2^t+1,r]\) 连边：

• 若 \(a(l,t)\) 与 \(a(r+n,t)\) 已连通，那么直接返回即可。
• 否则，先连接 \(a(l,t)\) 与 \(a(r+n,t)\)，然后递归处理 \((l,r,t-1)\) 与 \((l+2^{t-1},r-2^{t-1},t-1)\)。
• 特殊地，若 \(t=0\) 且尚未连通，那么就是说这里要连一条边了，连接后直接返回即可。

这样一共 \(\log\) 层，每层 \(O(n)\) 个节点，复杂度为 \(O(n\log n)\)。

例题

QOJ9904，从小到大枚举 \(a_i\)，然后不难得到对应连边区间，我们想要知道当前区间内要连多少条边，倍增并查集即可，每次返回 \(t=0\) 且尚未连通的个数。

code

const int N=4e5+5,T=19;int n;
ll a[N];int fa[N*T];
int find(int x){if(fa[x]!=x)fa[x]=find(fa[x]);return fa[x];}
void merge(int a,int b){fa[find(a)]=find(b);}
bool same(int a,int b){return find(a)==find(b);}
int id[N][T],idx,per[N];
ll ans;int Merge(int l,int r,int t){if(same(id[l][t],id[r+n][t]))return 0;merge(id[l][t],id[r+n][t]);if(!t)return 1;return Merge(l,r,t-1)+Merge(l+(1<<t-1),r-(1<<t-1),t-1);
}inline void Main(){cin>>n;rep(i,3,2*n-1)cin>>a[i],per[i-2]=i;repl(t,0,T)rep(i,1,n<<1)id[i][t]=++idx,fa[idx]=idx;rep(i,1,n)merge(id[i][0],id[i+n][0]);sort(per+1,per+2*n-2,[&](int x,int y){return a[x]<a[y];});rep(I,1,2*n-3){int i=per[I];int l=max(1,i-n),r=min(n,i-1);per(t,T-1,0)if(l+(1<<t)-1<r-(1<<t)+1)ans+=a[i]*Merge(l,r,t),l+=1<<t,r-=1<<t;}put(ans);
}