4.典型的分治算法

4.1选最大与最小

1.选择问题

概念

问题

选最大问题：顺序比较

伪码：

同时选最大最小问题：
通常算法：先选出最大数，再从剩下的n-1个数里选最小数

算法

分组算法：两两数分成一组，每组进行比较，在所有大的数+轮空数里选出最大数，在所有小的数+轮空数里选出最小数

伪码：先分组再比较再选数

最坏情况时间复杂度：

分治算法：递归

最坏情况时间复杂度：

2.小结：

• 选最大：顺序比较，比较次数 n - 1
• 选最大最小：
  • 1.选最大+选最小：比较次数 2n - 3
  • 2.分组：比较次数 ⌈3n/2⌉ - 2
  • 3.分治：n = 2ᵏ 比较次数 3n/2 - 2

4.2选第二大

1.选第二大问题+算法

蛮力算法

顺序比较：

锦标赛算法：用空间换时间

提高效率的途径：

锦标赛算法：

伪码：

实例：

时间复杂度分析

2.小结：

• 常规算法蛮力解决：调用2次找最大：2n - 3
• 锦标赛算法：n + ⌈logn⌉ - 2
• 思路：用空间换时间

4.3一般性选择问题：选第k小的数

1.一般性选择问题

问题

算法

简单的算法：

分治算法：

m*的选择与划分过程：

实例：n = 15,k = 6

归约为子问题：

伪码：

2.小结：

• 选第k小的算法：
  • 分治策略
  • 确定m*
  • 用m*划分分数组归约为子问题
  • 递归实现

4.4选择问题的算法分析

1.算法分析

详情

用m*划分：

子问题规模估计：

时间复杂度递推方程：

递归树：W(n) = W(n/5) + W(7n/10) + cn

2.递归调用：
1.求m*的工作量与|M| = n/t 相关，t为每组元素数，t大，|M|小
2.归约后子问题大小与分组元素数t有关，t大，子问题规模大

3.三分组时的子问题规模：假设t=3,3个一组

时间复杂度

算法的时间复杂度：

4.小结：

• 选第k小算法的时间分析：
  • 递推方程
  • 分组时每组元素数的多少对时间复杂度的影响

4.5卷积及应用

1.卷积的定义

向量定义&矩阵解释

定义：

矩阵理解：

实例：

2.卷积与多项式乘法的关系

详情

3.卷积的应用：信号平滑处理

详情

实例：两边有误差

4.小结：

• 卷积的定义
• 卷积与多项式乘法的关系
• 卷积的应用--信号平滑处理

4.6卷积计算

1.蛮力算法

详情

卷积a*b计算等价于多项式相乘
蛮力算法的时间：O(n²)

2.多项式 高斯滤波

详情

计算2n-1次多项式C(x):

高斯滤波的权值函数:

2n个数的选择：1的2n次根:

实例：

快速傅里叶变换FFT

算法

3.小结：

• 蛮力算法O(n²)
• 快速傅里叶变换FFT算法：
  • 确定x的取值：1的2n次根
  • 关键步骤：多项式对x求值

4.7多项式求值算法

1.蛮力算法

详情

2.改进的求值算法

详情

偶系数与奇系数多项式

分治求值算法设计

3.FFT算法

详情

伪码：

时间复杂度：

4.小结：

• 多项式求值算法：
  • 蛮力算法：O(n³)
  • 改进的求值算法：O(n²)
  • FFT算法：O(nlogn)

4.8平面点集的凸包

1.平面点集的凸包

问题

分治算法

伪码：

算法分析--时间复杂度

2.小结：

• 平面点集的凸包是分治算法的一种应用