P13536 [IOI 2025] 神话三峰（triples）（Part 1）

考虑对于 \(i<j<k\) 为神话三峰，那么 \(d_1=j-i,d_2=k-j,d_3=k-i\)。则高度需要满足：

\[H_i=j-i,H_j=k-j,H_k=k-i \]

\[\Rightarrow j=H_i+i,k=H_j+j,k-i=H_k \]

\[H_i=j-i,H_j=k-i,H_k=k-j \]

\[\Rightarrow j=H_i+i,k=H_j+i,H_k=k-j \]

\[H_i=k-j,H_j=j-i,H_k=k-i \]

\[\Rightarrow i=j-H_j,k=H_i+j,i=H_k-k \]

\[H_i=k-i,H_j=j-i,H_k=k-j \]

\[\Rightarrow k=H_i+i,j=k-H_k,i=j-H_j \]

\[H_i=k-i,H_j=k-j,H_k=j-i \]

\[\Rightarrow k=i+H_i,j=H_k+i,k=H_j+j \]

发现这几种情况的合法只有 \(O(n)\) 种情况，难点在于：

\[H_i=k-j,H_j=k-i,H_k=j-i \]

\[\Rightarrow i-H_i=j-H_j,i+H_i=k-H_k,H_j+j=H_k+k \]

即设 \(u_i=i-H_i,u^{\prime}_i=i+H_i\) ，则我们在 \(u_i,u^{\prime}_i\) 间连一条边权为 \(i\) 的边，我们能够找到的所有三元环即为可能答案。补一下无向图三元环计数的方法：

我们考虑每一个节点度数 \(d_u\)，然后将其建成一个新图。考虑若 \(d_u\neq d_v\)，则让度数小的跟度数大的连边，否则让编号小的与编号大的连边。那么有结论：新图一定是一个 DAG，且每个点的出边不超过 \(O(\sqrt{m})\)。

我们考虑如果存在一个环 \(a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a\)，不妨假设 \(a<b<c\)。那么如果三个点在原图中度数相同则一定不存在 \(c\rightarrow a\) 的连边。那么如果度数不同那么三条边中一定会存在一个满足度数更大连边。
那么考虑最大度数。如果在原图中 \(d_u<\sqrt{m}\)，那么新图中一定不会超过 \(\sqrt{m}\)。如果 \(d_u\geq \sqrt{m}\)，那么只有当 \(d_v\geq d_u\) 才有可能有连边 \(u\rightarrow v\)。而又因 \(\sum d_u=2m\)，故 \(d_v\geq d_u\) 也只有 \(\sqrt{m}\) 级别。

这样我们发现三元环在新图中就满足 \(u\rightarrow v\rightarrow w,u\rightarrow w\)。那么我们枚举 \(u\)，打一个时间戳在 \(v\) 上，之后枚举每一个 \(v\) 的出边 \(w\)。为什么时间复杂度正确？这里看起来还是 \(O(n(\sqrt{m})^2)\)的。我们考虑在一层循环内枚举边 \((u,v)\)，那么会有贡献 \(d^{\prime}_v\)，而每一条边会在外层被遍历一次，那么复杂度就是 \(O(m\sqrt{m})\) 的。

故这样我们最后把所有的三元组拿下来重新去重判一下合法即可。