深入解析：数据结构初识，与算法复杂度

//计算++count被执行的次数
void Func(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
++count;
}
for (int i = 0; i < 2 * k; ++i)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
}

不难得出：
$T(N)=N^2+2*N+10$
其中，N^2对==T(N)==的影响最大。

但实际上，如果单单是执行一条简单的指令，那运行时间就微乎其微了。而有些语句，随着输入参数的变化，它们执行的次数也会随之发生相应有规律的变化。因此，我们计算算法复杂度，只是想计算算法程序的增长量级，也就是当N不断变化（一般是增大）时T(N)的差别。

上面的例子中，我们不难看出，低阶项与常数项，对结果的影响很小，所以我们只需计算一个大概的执行次数。这时可以用大O的渐进表示法。

3.3.1、大O的渐进表示法

规则：

时间复杂度函数式T(n)中，保留最高阶项。比如O(N^2)
去掉最高阶项的常数系数。
如果函数式中只有常数项，为O(1)。

3.3.2、几个例子

举几个我觉得不太好理解的例子。

例一：

void Func1(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++)
{
count++;
}
for (int k = 0; k < N; k++)
{
count++;
}
printf("%d\n", count);
}

在这里：

T(N) = M + N
时间复杂度：O(M + N)
- 当M == N，时间复杂度可以为O(M) O(N)
- 当M >> N，时间复杂度O(M)
- 当M << N，时间复杂度O(N)

例二：

const char* strchr (const char * str, char char)
{
const char* p_begin = str;
while (*p_begin != char)
{
if (*p_begin == '\0')
return NULL;
p_begin++;
}
return p_begin;
}

在这里：

当要查找的字符串在第一位，则T(N) = 1
当要查找的字符串在中间位置，则T(N) = N/2
当要查找的字符串在末尾，则T(N) = N

所以：

最好情况（下界）：O(1)
平均情况：O(N)
最坏情况（上界）：O(N)

而大O的渐进表示法，一般关注上界，即最坏情况。

例三：

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

现在是2025年10月28日12时59分

在这里：

当序列升序，O(N) = N
当序列降序：

n 的取值	对应交换操作执行的次数
1	0
2	1
3	2
4	3
…	…
n	n - 1

不难得出，执行次数为N(N - 1)/2，时间复杂度为O(N^2)。

例四：

void func2(int n)
{
int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
cnt *= 2;
}
}

可以看出，

当n = 2，执行次数为1；
当n = 4，执行次数为2；
当n = 8，执行次数为4；
……
所以此时的T(N) = logN （这里底数不重要，可由换底公式换成任意底），时间复杂度为O(logN)。

例五：

也就是函数递归算法的复杂度。

递归的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度

3.4、空间复杂度

3.4.1、概念浅析

由于函数运行所需的栈空间，在编译期间就已经开辟好了，所以空间复杂度主要讨论的是函数在运行时，申请的额外内存空间。

3.4.2、示例

例一：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

还是这个冒泡排序。不难看出，使用了常数个空间，空间复杂度为O(1)。

例二：

//计算阶乘的递归
long long Fac(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n*Fac(n - 1);
}

函数进行了n次递归，而每次递归申请了常数个空间，所以空间复杂度为O(N)。

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