轨道平面系与轨道姿态系 - 实践

轨道平面系与轨道姿态系

在航天任务中，精确的坐标系定义是姿态确定、轨道控制和任务规划的基础。其中，轨道平面系和轨道姿态系是两个核心但易混淆的概念。本文将深入探讨这两种坐标系的定义、特性、用途及相互转换关系。

1. 基本概念

1.1 轨道平面系

轨道平面系是一个与轨道平面固连的坐标系，其定义完全基于轨道的几何特性，与航天器在轨道上的具体位置无关。它描述了轨道平面在惯性空间中的固定取向。

1.2 轨道姿态系

轨道姿态系（最常见的是LVLH系）是一个与航天器本体固连但基准轴随轨道运动而变化的坐标系。它描述了航天器相对于当地天地关系的瞬时姿态。

2. 坐标系定义

2.1 轨道平面系

轨道平面系 $F_o$的定义如下：

• 原点：地心（对于地心轨道）
• $Z_o$轴：沿轨道角动量矢量方向，垂直于轨道平面向上
  $${\mathbf{Z}}_o=\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{v}}{|\mathbf{r}\times \mathbf{v}|}$$
• $X_o$轴：在轨道平面内，指向升交点方向
• $Y_o$轴：在轨道平面内，完成右手坐标系
  $${\mathbf{Y}}_o={\mathbf{Z}}_o\times {\mathbf{X}}_o$$

2.2 轨道姿态系（LVLH系）

LVLH系 $F_b$的定义如下：

• 原点：航天器质心
• $Z_b$轴：Local Vertical，从航天器指向地心（径向矢量，通常定义向下为正）
  $${\mathbf{Z}}_b=-\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$$
• $Y_b$轴：Orbit Normal，与轨道角动量方向相反（负法向）
  $${\mathbf{Y}}_b=-\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{v}}{|\mathbf{r}\times \mathbf{v}|}$$
• $X_b$轴：Local Horizontal，在轨道平面内完成右手系，近似指向速度方向
  $${\mathbf{X}}_b={\mathbf{Y}}_b\times {\mathbf{Z}}_b$$

3. 特性对比

特性	轨道平面系	轨道姿态系（LVLH）
原点	地心	航天器质心
$Z$轴	轨道角动量方向（法向）	指向地心（径向）
$X$轴	指向升交点	沿速度方向（切向）
基准面	轨道平面	当地水平面
是否惯性系	是（无摄动下）	否
是否时变	否（轨道根数不变下）	是（连续旋转）
主要用途	轨道确定、轨道预报	姿态控制、对地观测

4. 数学表达与获取方式

4.1 从瞬时轨道根数获取轨道平面系

通过经典的3-1-3欧拉角旋转，可以从惯性系得到轨道平面系：

$${\mathbf{R}}_{oi}={\mathbf{R}}_z(u)\cdot {\mathbf{R}}_x(i)\cdot {\mathbf{R}}_z(\Omega )$$

其中：

• $\Omega$：升交点赤经
• $i$：轨道倾角
• $u=\omega +\nu$：纬度幅角（近地点幅角 + 真近点角）

对应的旋转矩阵为：

$${\mathbf{R}}_{oi}=\left[\begin{array}{ccc}\cos u\cos \Omega -\sin u\cos i\sin \Omega & \cos u\sin \Omega +\sin u\cos i\cos \Omega & \sin u\sin i\\ -\sin u\cos \Omega -\cos u\cos i\sin \Omega & -\sin u\sin \Omega +\cos u\cos i\cos \Omega & \cos u\sin i\\ \sin i\sin \Omega & -\sin i\cos \Omega & \cos i\end{array}\right]$$

4.2 从位置速度矢量直接获取LVLH系

对于轨道姿态系，可能直接从航天器的位置矢量$\mathbf{r}$ 和速度矢量 $\mathbf{v}$ 计算：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{Z}}_b& =-\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\\ {\mathbf{Y}}_b& =-\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{v}}{|\mathbf{r}\times \mathbf{v}|}\\ {\mathbf{X}}_b& ={\mathbf{Y}}_b\times {\mathbf{Z}}_b\end{array}$$

相应的旋转矩阵为：

$${\mathbf{R}}_{bi}={\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{X}}_b& {\mathbf{Y}}_b& {\mathbf{Z}}_b\end{array}\right]}^T$$

5. 坐标系转换

5.1 从轨道平面系到轨道姿态系

两者之间的转换关系可以通过固定旋转矩阵描述。从轨道平面系到LVLH系的转换为：

$${\mathbf{R}}_{bo}={\mathbf{R}}_{bi}\cdot {\mathbf{R}}_{oi}^T$$

其中 ${\mathbf{R}}_{bo}$能够分解为绕轨道法向的旋转：

$${\mathbf{R}}_{bo}={\mathbf{R}}_z(\theta )\cdot {\mathbf{R}}_x\left(\frac{\pi }{2}\right)$$

具体转换矩阵通常形式为：

$${\mathbf{M}}_{o2b}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\text{或}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$$

取决于具体的轴系定义约定。

5.2 转换的物理意义

这种转换的物理本质包括：

1. 原点平移：从地心移到航天器质心
2. 基准变换：从"轨道平面"基准变为"当地天地"基准
3. 轴重映射：将法向轴变为径向轴，升交点轴变为速度方向轴

6. 实际应用场景

6.1 轨道平面系的应用

• 轨道确定：确定轨道根数，预报轨道演化
• 轨道机动：计算轨道面改变所需的$\Delta v$
• 星座设计：确定卫星在轨道面内的相位关系
• 交会对接：用于远距离轨道阶段的相对导航

6.2 轨道姿态系的应用

• 对地观测：使载荷始终对准地球表面
• 通信对准：保持天线指向地面站
• 能源管理：控制太阳能板对准太阳
• 姿态控制：提供姿态控制的参考基准

7. 在轨运行中的动态特性

7.1 轨道平面系的稳定性

在无摄动的二体问题假设下，轨道平面系在惯性空间中保持固定：

$$\frac{d{\mathbf{R}}_{oi}}{dt}=0$$

在实际受摄轨道中，由于$J_2$摄动、日月引力等影响，轨道平面会缓慢进动：

$$\frac{d\Omega }{dt}=-\frac{3}{2}{J}_2{\left(\frac{R_e}{a}\right)}^2\frac{n\cos i}{(1-e^2{)}^2}$$

7.2 轨道姿态系的运动学

LVLH系在惯性空间中以轨道角速度旋转，其运动学方程为：

$${\mathbf{\omega }}_{bi}=\left[\begin{array}{c}0\\ -{\omega }_{\text{orbit}}\\ 0\end{array}\right]$$

其中${\omega }_{\text{orbit}}=\sqrt{\frac{\mu }{r^3}}$为轨道角速度。

8. 总结

轨道平面系和轨道姿态系是航天工程中两个基础而主要的坐标系：

• 轨道平面系提供了轨道在惯性空间中的全局静态参考
• 轨道姿态系提供了航天器相对于当地环境的局部动态参考

理解两者的定义、特性和转换关系，对于航天器姿态轨道控制系统设计、任务分析和在轨操作都至关重要。在实际工程应用中，需要根据具体任务需求选择合适的坐标系，并在不同坐标系间进行准确的转换。