完整教程：AtCoder真题及详细题解 ABC427C： Bipartize

AtCoder真题及详细题解 ABC427C： Bipartize

题目描述

有一个简单的无向图，包含 $N$ 个顶点和 $M$ 条边。该图由顶点 $1$、顶点 $2$、……、顶点 $N$ 组成，第 $i$ 条边（$1\le i\le M$）连接顶点 $u_i$ 和 $v_i$。

你将执行零次或多次以下操作：

• 选择一条尚未被删除的边，并将其删除。

你的目标是使图变为二分图。找出使操作后的图变为二分图所需的最少操作次数。

简单图是什么意思？
简单图当且仅当没有自环（满足 $u_i=v_i$ 的边）或重边（满足 $u_i=u_j$ 且 $v_i=v_j$ 的边对）时成立。

什么是二分图？
二分图是一种图，其中可以为每个顶点涂上黑色或白色，满足以下条件：

• 对于每条边，该边连接的两个顶点颜色不同。

输入格式

输入从标准输入按以下格式给出：

$N$$M$
$u_1$$v_1$
$u_2$$v_2$
$⋮$
$u_M$$v_M$

输出格式

输出使图变为二分图所需执行的操作次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 8
1 2
1 3
1 4
2 3
2 5
3 4
3 5
4 5

输出 1

2

输入输出样例 2

输入 2

2 1
1 2

输出 2

0

输入输出样例 3

输入 3

10 20
5 9
1 4
3 8
1 6
4 10
5 7
5 6
3 7
3 6
5 10
1 3
3 4
6 7
1 2
4 7
1 5
1 9
9 10
4 5
8 9

输出 3

5

说明/提示

样例解释 1

你可以通过删除两条边使图变为二分图：例如，删除连接顶点 $1$ 和 $3$ 的边，以及连接顶点 $3$ 和 $5$ 的边。

通过一次或更少的操作无法使图变为二分图，因此输出 2。

样例解释 2

图从一开始就是二分图。因此，需要执行的操作次数为 $0$。

约束条件

• $2\le N\le 10$
• $1\le M\le \frac{N(N-1)}{2}$
• $1\le u_i<v_i\le N(1\le i\le M)$
• 给定的图是简单图。
• 所有输入值都是整数。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int n, m, t, color[11], ans = 100;  // color数组记录每个顶点的颜色(0或1)，ans记录最小操作次数struct node {int u, v;  // 存储边的结构体} a[110];  // 存储所有边的数组// 深度优先搜索函数，i表示当前正在处理的顶点编号void dfs(int i) {// 如果所有顶点都已处理完毕if (i == n + 1) {int cnt = 0;  // 统计需要删除的边数// 遍历所有边for (int j = 1; j <= m; j++) {// 如果边的两个端点颜色相同，说明这条边需要删除if (color[a[j].u] == color[a[j].v]) {cnt++;}}// 更新最小操作次数ans = min(ans, cnt);return;}// 尝试将当前顶点染成颜色0，然后处理下一个顶点color[i] = 0;dfs(i + 1);// 尝试将当前顶点染成颜色1，然后处理下一个顶点color[i] = 1;dfs(i + 1);}int main() {cin >> n >> m;// 读入所有边for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> a[i].u >> a[i].v;}// 从顶点1开始深度优先搜索dfs(1);// 输出最小操作次数cout << ans;return 0;}

算法思路

这是一个使用暴力搜索解决二分图判定问题的方案。由于题目中N的最大值为10，可以枚举所有可能的顶点着色方案。

核心思想

• 二分图的定义：可以用两种颜色给所有顶点着色，使得任意一条边的两个端点颜色不同
• 对于每个顶点，都有两种可能的颜色选择（0或1）
• 通过DFS枚举所有可能的着色方案
• 对于每种着色方案，统计违反二分图条件的边数（即两端点颜色相同的边数）
• 取所有方案中的最小违规边数作为答案

关键步骤

1. DFS枚举：递归地为每个顶点尝试两种颜色
2. 边界条件：当处理完所有顶点后，评估当前着色方案
3. 边检查：对于每条边，检查两个端点颜色是否相同
4. 结果更新：记录所有方案中的最小违规边数

复杂度分析

• 时间复杂度：O($2^N$ × M)，其中N是顶点数，M是边数
• 空间复杂度：O(N + M)，用于存储颜色数组和边列表

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#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){cout<<"############# 祝看到这篇秘籍的OIer： ###############";cout<<"#### AC不是偶然，一等奖是必然！祝你AK全场！ ########";cout<<"############# 复赛夺魁，一等在手！ #################";return 0;}