做题随笔：P3403

Solution

这里给出了一种不使用最短路的优化算法，可以优化到 \(O(x)\)，而且出奇的直观、好写。同见于 oi-wiki。（其实相关部分是我写的）

题意

原题链接

给定 \(x,y,z,h\)，求 \(ax+by+cz=h\) 的非负整数解 \((a,b,c)\) 的组数。

分析

不妨设 \(x \leq y \leq z\)，我们有一个自然的思路：设 \(d_i\) 表示只通过 \(+y\) 和 \(+z\) 可以在模 \(x\) 意义下构造的最小值，因为 \(d_i+kx\) 都可以由 \(d_i\) 直接构造，有了 \(d_i\)，求出方案数是简单的。

那么我们就有一个最短路的思路：\(d_i\) 可以用来更新 \(d_{i+y \bmod x}\) 和 \(d_{i+z \bmod x}\)，以 \(y\) 更新为例，我们有 \(d_{i+y \bmod x} \gets \min(d_{i+y \bmod x},d_i+y)\)，于是我们可以直接建图愉快 dijkstra。\(O(x \log x)\)。

但是，我们有惊人的洞察：

1. 我们 dijkstra 的过程就是尝试使用当前的 \(d_i\) 加一个 \(y\) 或 \(z\) 进行拓展。加法具有交换律，所以我们可以先只进行 \(y\) 的松弛，再进行 \(z\) 的松弛。放到图上就是我可以先走一类边，再走另一类边。
2. 如果我们只建出一类边，建出来的图会是若干个不交、等长的环。

第一个发现是自然的，第二个可能不太自然，证明如下：

设 \(d=\gcd(x,y)\)，设 \(x=da,y=db\)，有 \(\gcd(a,b)=1\)。

考虑从 \(u\) 出发走 \(k\) 步，到达 \((u+ky) \bmod x\)。若成环，则 \(ky \equiv 0 \pmod x\)，即有 \(kb \equiv 0 \pmod a\)。

由于 \(\gcd(a,b)=1\)，最小的 \(k=a\)，即环长为 \(a = \dfrac{x}{d}\)。由于是从任意点开始，故每个可能的环长相等，环的数量为 \(d\)。

那么证明了图上只有环有什么用呢？先说结论：在环上求 \(d_i\) 只需要绕环转两圈即可。这个结论是平凡的：最小值不可能被更新，我们其实只需要从最小值出发绕一圈就行。从任意点开始绕两圈就可以保证一定用最小值跑了一圈。

那就很爽了，我们只需对两种边分别跑一下就行，不用建图，不用写最短路，直接 for 一下就行。

\(O(x)\)。

Code

为了便于理解，实现的时候用 vector 把环存了一下，事实上根本不必要，直接记一个 vis，等于 2 就 break。

#include <iostream>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <vector>typedef long long ll;ll fr() {ll x = 0, f = 1;char c = getchar();while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1;c = getchar();}while (isdigit(c)) {x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}return x * f;
}const int maxn = 1e5+100;ll d[maxn];
bool vis[maxn];
ll ans;int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;
}void upd(int step,int M) {int D=gcd(step,M);int len=M/D;for (int st = 0; st < D; st++) {if (vis[st]) continue;std::vector<int> v;int u=st;for (int i = 0; i < len; i++) {v.push_back(u);vis[u]=true;u=(u+step)%M;}for (int r = 0; r < 2; r++) {for (int i = 0; i < len; i++) {int las=v[i];int now=v[(i+1)%len];if (d[las]!=LLONG_MAX) d[now]=std::min(d[now],d[las]+step);}}}
}int main() {ll h = fr();int x[3];for (int i = 0; i < 3; i++) x[i]=fr();std::sort(x,x+3);int M=x[0];for (int i = 0; i < M; i++) d[i]=LLONG_MAX;d[0]=0;upd(x[1],M);memset(vis,0,sizeof(vis));upd(x[2],M);ll H=h-1;ans=0;for (int i = 0; i < M; i++) {if (d[i]<=H&&d[i]!=LLONG_MAX) {ans+=(H-d[i])/M+1;}}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

一些闲话

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