DS trick record 1

考虑一类经典的问题，形如有置换 \(x\leftarrow F(x)\)，满足在一个值 \(B\) 次过后有 \(x=F(x)\)。

比较常见的是对序列维护区间置换，区间半群（或更弱）和。

例如 P4145 花神游历各国，其中 \(F(x)=\lfloor\sqrt x\rfloor\)，\(B=\log \log V\)，我们可以用势能线段树维护。

在线段树上每个点记录是否有数满足 \(x\neq F(x)\)，然后每次修改我们暴力查找，不难分析出复杂度是 \(n\log n\log\log V\) 的。

但事实上这类问题是可以不依赖势能，并且可以可持久化的。

我们考虑维护一个区间的和为 \(s\)，但这样不方便修改，于是我们考虑维护长为 \(B+1\) 的数组，分别为区间整体进行 \(i\in[0,B]\) 次置换过后的和。

不难发现我们合并就是两个数组每个位置对应相加，整体置换就是数组整体平移。

缺陷是我们的空间代价变为了原来的 \(B\) 倍。由于在大多数情况下，我们单次的查询都不弱于 \(O(B)\)，于是我们可以考虑按 \(B\) 为长度底层分块，这样时间复杂度无太大变化，并且空间变为线性。

进一步的，我们可以可持久化，甚至可以用 WBLT 维护区间复制，平移。

example ： https://www.luogu.com.cn/problem/P8524