GYM106191E-Leaf

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题目大意：

有一张隐藏的， \(n\) 个节点的有向图。你的目标是在 \(n\) 次查询内，找到这张图的任一叶子节点，或没有则输出 \(-1\) 。

你的查询操作：

输出两个点集：\(S\) 和 \(T\) ，它们是集合 \(\{1,2,3, \ldots \ldots, n\}\) 的子集。集合 \(S\) 和 \(T\) 可以有交集。

系统将会返回，从 \(S\) 出发，到 \(T\) 结束的边的数量。

\(Hint\)

特殊的，当 \(S==T\) 时，系统返回的值即为，集合中的点构成的子图的边数。

题解

要找到一个叶子节点，即找到一个点，出度+入度为 \(0\)。可以发现，单独把一个节点，和剩余节点作为两个集合，一次查询只能得到入度或出度的信息。我们无法在 \(O(n)\) 时间内维护出每个点。

根据 \(Hint\) ，我们可以先查询所有点的集合，得到全图的边数 \(tot\) 。

再依次查询除去第 \(i\) 个点的集合。可以发现用全图边数减去每次查询的结果，得到的就是第 \(i\) 个点的度。度为 \(1\) 即说明该点为叶子节点。

但是这样查询，一共使用了 \(n+1\) 次查询，比题目要求多了一次。一张图中的边数是固定的，所以最后第 \(n\) 个点的度，可以通过 总度数 \(tot*2\) 减去其余每个点的度数得到。这样我们就只使用了 \(n\) 次查询操作，就得到了所有点的度。

#include<bits/stdc++.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define umap unordered_map
//#define endl '\n'
using namespace std;
using i128 = __int128;
const int mod =1e9+7;
template <typename T>void read(T&x){x=0;int f = 1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
}
template <typename T>void print(T x) {if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }if (x > 9) print(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
#define int long long
const int N=500005;
const int M=2000005;
inline void solve()
{int n;cin>>n;cout<<"? "<<n<<" ";for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<" ";cout<<n<<" ";for(int i=1;i<n;i++) cout<<i<<" ";cout<<n<<endl;int tot;cin>>tot;vector<int> edge(n+1); for(int i=1;i<n;i++){cout<<"? "<<n-1<<" ";for(int j=1;j<i;j++) cout<<j<<" ";for(int j=i+1;j<=n;j++) cout<<j<<" ";cout<<n-1<<" ";for(int j=1;j<i;j++) cout<<j<<" ";for(int j=i+1;j<n;j++) cout<<j<<" ";cout<<n<<endl;cin>>edge[i];edge[i]=tot-edge[i];}edge[n]=2*tot;for(int i=1;i<n;i++) edge[n]-=edge[i];for(int i=1;i<=n;i++){if(edge[i]==1){cout<<"! "<<i<<endl;return;}}cout<<"! "<<-1<<endl;
}signed main()
{ios;int T=1;cin>>T;for(;T--;) solve();return 0;
}