Master Theorem
什么是 Master Theorem？
Master Theorem 是分析分治算法时间复杂度的标准工具。
- 算法通过分治把问题拆成
a个子问题，每个子问题规模缩小为n/b - 除了递归调用，当前层还做
f(n)的额外工作
递归公式一般写作：
T(n) = a * T(n/b) + f(n)
T(n)：总时间复杂度a：子问题数量（a ≥ 1）b：每个子问题规模缩小倍数（b > 1）f(n)：当前层非递归工作量（比如合并、遍历、计算等）
Master Theorem 通过比较子问题消耗和当前层消耗，快速判断总复杂度。
每层节点数
第 i 层：a^i 个节点，因为每层都分出 a 个子问题。
递归树高度
递归继续下去，直到每个子问题规模 ≈ 1，当 n / (b^i) = 1 时，i = log_b n，所以树的高度 ≈ log_b n。
叶子节点数
最底层（叶子）是第 i = log_b n 层，节点数 = a^i = a^(log_b n)
公式变换：a^(log_b n) = n^(log_b a)
它表示递归树最底层的节点总数，每个节点如果做常数量工作，叶子层总工作量 ≈ n^log_b a
三种情况
符号含义：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| O(f(n)) | 上界：T(n) 最多增长到 f(n) 量级 |
| Ω(f(n)) | 下界：T(n) 至少增长到 f(n) 量级 |
| Θ(f(n)) | 上下界都在 f(n) 量级 → 增长“正好是” f(n) |
子问题 dominates（递归层消耗大）
条件：
f(n) = O(n^(log_b a - ε)), ε > 0
- O() 意味着
f(n) ≤ c * n^(log_b a - ε) （存在常数 c>0） - 在 Master Theorem 里，ε（希腊字母 epsilon）表示一个任意小的正数，用于描述“严格小于”或“严格大于”的多项式增长关系。
结论：
T(n) = Θ(n^log_b a)
- 如果 f(n) 比每层递归工作量小，则总复杂度由递归支配
- 当前层额外工作可以忽略
例子：
T(n) = 8*T(n/2) + n
- a=8, b=2 → log_2 8 = 3
- f(n) = n = O(n^(3-ε)) → 满足条件
- 总复杂度 T(n) = Θ(n^3)
当前层和子问题工作量平衡
条件：
f(n) = Θ(n^log_b a)
结论：
T(n) = Θ(n^log_b a * log n)
- 每层递归的消耗 ≈ 当前层非递归工作
- 总工作 = 每层工作 * 层数 → (n^log_b a) * log n
例子：归并排序
T(n) = 2*T(n/2) + n
- a = 2, b = 2 → log_2 2 = 1
- f(n) = n = Θ(n^1) → 当前层和递归同级
- T(n) = Θ(n log n)
当前层 dominates（非递归层消耗大）
条件：
f(n) = Ω(n^(log_b a + ε)), ε > 0
- Ω() 隐含
f(n) ≥ c * n^(log_b a + ε) - 且正则性条件：a * f(n/b) ≤ c * f(n) （保证子问题不会太大）
结论：
T(n) = Θ(f(n))
- 当前层工作量远大于递归工作量 → 总复杂度 ≈ 当前层
- 子问题贡献可以忽略
例子：
T(n) = 2*T(n/2) + n^2
- a = 2, b = 2 → log_2 2 = 1
- f(n) = n^2 = Ω(n^(1+ε)) → 当前层消耗大
- 总复杂度 T(n) = Θ(n^2)
指数比较法
前提条件：
递归公式：
T(n) = a * T(n/b) + f(n)
- f(n) = n^c
- a ≥ 1，b > 1
- log_b a = 叶子节点增长指数
方法：
- 比较 f(n) 指数 c 和 log_b a
- 判断哪一层 dominate → 确定总复杂度
| c 与 log_b a | 含义 | 总复杂度 T(n) |
|---|---|---|
| c < log_b a | 当前层工作量小 → 叶子 dominate | Θ(n^(log_b a)) |
| c = log_b a | 每层工作量差不多 → log 层累加 | Θ(n^c * log n) |
| c > log_b a | 当前层工作量大 → 根节点 dominate | Θ(n^c)（需 regularity condition） |
- 之前用的是 n^log_b a vs f(n) 来判断哪层 dominate。
- 指数比较法是把 f(n) 写成 n^c，然后直接比较指数 c vs log_b a。
- 两者是等价的，只是看法不同而已。
