Problem
已知双曲线 $ x^2 -\frac{y^2}{3}=1 $ ,双曲线上一点 $ P(x_0,y_0) \hspace {0.1cm} (x_0>0) $ , 双曲线在点 $ P $ 处的切线 $ l:x_0x - \frac{y_0y}{3} =1 $ .
若 $ l' \bot \hspace {0.1cm} l $ 且 $ \angle PF_1F_2 $ 的角平分线 $ l_0 \cap l' = M $ , $ M(x_1,y_1)$ ,求 $ M $ 的轨迹方程。
分析
如果对条件解读错误，按照传统设线设点解决问题，过程会非常复杂，计算量也相当大。
直接用角平分线定理约束即可。
Solution
不妨先设 $ y_0 >0$ .
改写直线方程： $ l:3x_0x-y_0y-3=0$ , $ l':3x_0y+y_0x-4x_0y_0=0 $ .
有 $ |PF_1| = \sqrt{ (x_0+2)^2 + {y_0}^2 } = \sqrt{4{x_0}^2+4x_0+1}=2x_0+1 $ .
设 $ l' \cap F_1F_2 = K(x_k,0) $ , $ x_k =|OK| =4x_0$ , $ |F_1K|=4x_0+2 $ .
由角平分线定理
\[\frac{PF_1}{MP}=\frac{F_1K}{MK}=2 \\
\]
于是 $ 2(y_0 - y_1) =y_1 $ , $ y_1=\frac{2}{3}y_0 $ .
同理可得
\[\frac{x_1-x_0}{x_k-x_1} = \frac{|MP|}{|MK|} = \frac{1}{2}
\]
得到 $ 2(x_1-x_0)=4x_0-x_1 $ , $ x_1 =2x_0$ .
\[\therefore x_0^2 -\frac{y_0^2}{3} = (\frac{x_1}{2})^2-\frac{(\frac{3y_1}{2} )^2}{3}=1
\]
因此 $ M $ 的轨迹方程为 $ \frac{ {x}^2 } {4} - \frac{3{y}^2}{4} =1 \hspace{0.1cm} (x>0) $ .
source:同学培优
