非离散网络流——P3347 [ZJOI2015] 醉熏熏的幻想乡

非离散网络流——P3347 [ZJOI2015] 醉熏熏的幻想乡

观察费用为 \(a_ix^2+b_ix\)，如果是离散的，则可以套路的建边 \(a_i+b_i,3a_i+b_i,5a_i+b_i,\dots\)，可本题 \(x\in R\)。

于是连续意义下我们应该求导得到 \(2a_ix+b_i\)，称作瞬时费用。根据网络流的贪心决策，每次一定是选择瞬时肥费用最小的，于是当我们决定当前瞬时费用为 \(\lambda\) 时，每条边的流量就可以确定。建立流量关于瞬时费用的函数 \(y=f(\lambda)\)。则函数与 \(y\) 轴围成的面积就是答案。

总流量为各边流量相加。设一条边的流量关于 \(\lambda\) 的函数为 \(g(\lambda)\)。

当 \(a_i\ne 0\) 时，边在 \(\lambda\) 下的容量为 \(L_i=\max(0,\min(c_i,\frac{\lambda-b_i}{2a_i}))\)，而可以发现 \(g(\lambda)\) 有三种情况：

• 满流并且 \(L_i=\frac{\lambda-b_i}{2a-i}\)，则 \(g(\lambda)=\frac{\lambda-b_i}{2a-i}\)
• 满流并且 \(L_i=0\) 或 \(L_i=c_i\)，则 \(g(\lambda)=0\) 或 \(g(\lambda)=c_i\)
• 没有满流，此时就算 \(\lambda\) 增加 \(\epsilon\)，流量也不会增加，因为限制流量的不是 \(L_i\) 而是右部点。

当 \(a_i=0\) 时，\(L_i=\begin{cases}c_i&\lambda>=b_i\\0&\lambda<b_i\end{cases}\)，会有突变。

因为 \(f(\lambda)=\sum g(\lambda)\) 不难发现 \(f(\lambda)\) 是许多折线，算出所有折线即可积分。进而只需要算出折点的横坐标。

考虑有着相同整数部分的折点，此时 \(f(\lambda)\) 连续，并且每个 \(g(\lambda)\) 先斜后平，即上凸。所以 \(f(\lambda)\) 也上凸。

然后变成一个求凸包。

令 \(l+\epsilon\) 处直线为 \(A_l\)，\(r-\epsilon\) 处直线为 \(A_r\)。

• 若 \(A_l = A_r\)，根据凸性可知区间内没有断点。
• 否则，令 \(A_l\) 与 \(A_r\) 交于 \(P\)，令 \(f(\lambda_p + \epsilon)\) 处直线为 \(A_m\)。
  • 若 \(A_m\) 等于 \(A_r\)，根据凸性可知区间内仅有 \(P\) 一个顶点。
  • 否则说明 \(P\) 下方还有一条直线，\(P\) 一定不是顶点。

于是可以求解。

两个补丁：

• 答案要求用分数形式，所以尽管用 double 计算网络流，仍要写分数类求答案。

• 求最大流时由于有未满流的边，不能得到其分数形式，利用最大流最小割定理，算出割掉那些边即可。