4.2.3 疲劳强度试验 11.14

news/2025/11/14 15:07:22/文章来源:https://www.cnblogs.com/redufa/p/19222150

1. 计算方法

疲劳强度试验也称作疲劳极限试验、强度试验或响应试验，其目标是预估在给定高周疲劳寿命条件下疲劳强度的统计分布。在众多疲劳强度试验方法中，阶梯法（通常被称为上下法）是一种最常用的方法，已被许多标准所采纳，如英国标准协会(^{{[4]})、日本机械工程师协会(})、法国标准化委员会（L’association Francaise de Normalisation）(^{{[22]})和美国金属粉末工业联合会（MPIF）(})，用于预估疲劳极限的统计特性。

在疲劳强度试验中，首先必须预估平均疲劳极限。然后，在略高于预估平均应力的应力水平下进行疲劳寿命试验。如果试样在该应力水平的疲劳寿命之前发生失效，下一个试样必须在较低应力水平下进行试验。如果试样在这一应力水平的疲劳寿命之内没有发生失效，新的试验必须在较高应力水平下进行。因此，每个试验取决于上一个试验的结果，并且通过增加或降低应力水平继续进行试验。这个过程如图4.7所示。柯林斯（Collins）1993年建议，进行试验至少需要15个试样。应力增量通常低于平均疲劳极限初期预估值的5%左右(^{[3]})。

迪克森–姆德（Dixon – Mood）和张–凯塞西奥格鲁（Zhang – Kececioglu）分别在1948年和1998年推出了两种典型的数据简化方法(^{{[6][54]})，用于确定试验结果的统计参数。关于这两种方法的讨论(})，在其它参考文献中张–凯塞西奥格鲁提出，采用极大似然估计法或终止项分析法进行统计分析。迪克逊–姆德法是根据极大似然估计法推导出的，并假设疲劳极限非常符合正态分布。前一种方法具有将试验数据与非正态分布进行拟合的灵活性，并且可以用于可变的应力梯级。后一种方法易于使用，其结果通常较为保守。因而，这是本章研究的重点。

迪克逊–姆德提供了用于计算疲劳极限（(S_{\mathrm{s}})）平均数（(\mu_{\mathrm{s}})）和标准差（(\sigma_{\mathrm{s}})）的近似公式。这种方法假设疲劳极限服从正态分布，需要利用小概率事件数据来确定这两个统计特性（例如，或是只有失效，或是只有存活率）。将以所选增量(d)等距隔开的应力水平(S_i)编号为(i)，其中，在最低应力水平(S_0)时(i = 0)。应力增量应在疲劳极限两倍标准差的一半范围内。

在编号应力水平(i)上的小概率事件数用(n_{\mathrm{DM},i})来表示，可以计算出(A_{\mathrm{DM}})和(B_{\mathrm{DM}})两个量：

\[A_{\mathrm{DM}} = \sum i n_{\mathrm{DM},i} \tag{4.2.25} \]

\[B_{\mathrm{DM}} = \sum i^2 n_{\mathrm{DM},i} \tag{4.2.26} \]

则预估的平均值为

\[\mu_{\mathrm{s}} = S_0 + d\left(\frac{A_{\mathrm{DM}}}{\sum n_{\mathrm{DM},i}} \pm \frac{1}{2}\right) \tag{4.2.27} \]

式中，若小概率事件是存活率，则采用加号（(+)），若小概率事件是失效，则采用减号（(-)）。

标准差采用下式预估：
如果(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} \geqslant 0.3)，

\[\sigma_{\mathrm{s}} = 1.62d\left[\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} + 0.029\right] \tag{4.2.28} \]

或者，如果(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} < 0.3)，

\[\sigma_{\mathrm{s}} = 0.53d \tag{4.2.29} \]

根据正态分布的平均值(\mu_{\mathrm{s}})和标准差(\sigma_{\mathrm{s}})，利用单侧下界公差极限(K)系数可以确定与可靠性和置信水平相关的下界值(^{[24]})：

\[S_{\mathrm{s,R,C}} = \mu_{\mathrm{s}} - K\sigma_{\mathrm{s}} \tag{4.2.30} \]

式中，正态分布单侧公差极限的(K)系数在表4.6和表4.7中列出。下界限疲劳极限(S_{\mathrm{s,R,C}})意味着，置信水平(C%)和存活率(R%)的试验疲劳极限预计会超过(S_{\mathrm{s,R,C}})。

表4.6 正态分布单侧下界公差极限的(K)系数(^{[24]})

(C)	0.75	0.90
(R)	0.75 0.90 0.95 0.99 0.999	0.75 0.90 0.95 0.99 0.999
(n)
3	1.464 2.501 3.152 4.396 5.805	2.602 4.258 5.310 7.340 9.651
4	1.256 2.134 2.680 3.726 4.910	1.972 3.187 3.967 5.437 7.128

2.数据案例

2.1 例4.5

根据图4.7所示的阶梯试验结果，确定疲劳极限统计特性及其R95C90值。图4.7中的黑点和圆圈分别表示，在(10^{7)次循环之前失效和在(10}7)次循环处终止的试验数据。

解：本例分析中采用了存活率，因为它们是这些结果的小概率事件。因此，

\[\begin{align*} i = 0 &\quad S_0 = 360\mathrm{MPa} \quad n_{\mathrm{DM},0} = 1 \\ i = 1 &\quad S_1 = 380\mathrm{MPa} \quad n_{\mathrm{DM},1} = 4 \\ i = 2 &\quad S_2 = 400\mathrm{MPa} \quad n_{\mathrm{DM},2} = 6 \\ i = 3 &\quad S_3 = 420\mathrm{MPa} \quad n_{\mathrm{DM},3} = 1 \\ i = 4 &\quad S_4 = 440\mathrm{MPa} \quad n_{\mathrm{DM},4} = 0 \\ \end{align*} \]

\[\sum n_{\mathrm{DM}} = 12, d = \text{均等的应力增量} = 20\mathrm{MPa} \]

根据方程(4.2.25)和方程(4.2.26)，可以获得

\[A_{\mathrm{DM}} = \sum_{i=0}^4 i n_{\mathrm{DM},i} = 0 + (1 \times 4) + (2 \times 6) + (3 \times 1) + 0 = 19 \]

\[B_{\mathrm{DM}} = \sum_{i=0}^4 i^2 n_{\mathrm{DM},i} = 0 + (1^2 \times 4) + (2^2 \times 6) + (3^2 \times 1) + 0 = 37 \]

根据方程(4.2.27)，

\[\mu_{\mathrm{s}} = S_0 + d\left(\frac{A_{\mathrm{DM}}}{\sum n_{\mathrm{DM}}} + \frac{1}{2}\right) = 360 + 20 \times \left(\frac{19}{12} + \frac{1}{2}\right) = 401.7\mathrm{MPa} \]

由于

\[\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM}} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM}})^2} = 0.58 > 0.3 \]

可以根据方程(4.2.28)，对标准差估算如下：

\[\sigma_{\mathrm{s}} = 1.62d\left(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM}} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM}})^2} + 0.029\right) = 1.62 \times 20 \times (0.58 + 0.029) = 19.7\mathrm{MPa} \]

因此，估算的疲劳耐久性强度平均值和标准差分别是(401.7\mathrm{MPa})和(19.7\mathrm{MPa})。

假设疲劳极限服从正态分布，采用单侧下界公差极限方法，可以求出R95C90疲劳极限值：

\[S_{\mathrm{e},0.95,0.9} = \mu_{\mathrm{s}_2} - K\sigma_{\mathrm{s}} \]

式中：(K)为2.448，由表4.6中利用(n_{\mathrm{t}} = 12)查得。因此，

\[S_{\mathrm{e},0.95,0.9} = \mu_{\mathrm{s}_2} - K\sigma_{\mathrm{s}} = 401.7 - 2.448 \times 19.7 = 353.5\mathrm{MPa} \]

2.2 例4.6（应用）

图4.8所示的为一个汽车进气门系统，包括凸轮、从动件、长推杆、摇臂和气门弹簧。进气门摇臂由SAE 1008热轧钢制成，表面粗糙度为(1.1\mu\mathrm{m})。材料的洛氏硬度（(RB)）范围为50～70。检验摇臂的耐久性准则。这意味着，(10^7)次循环时的R90C90疲劳强度应超过最大工作载荷与一个安全系数的乘积。假设在本例中所采用安全系数为1.3。

采用(R = 0)的循环加载方式，对摇臂进行(10^7)次循环疲劳强度的阶梯（或上下）疲劳试验。将试验装置设计成三级转换形式，即从气门顶端持续承受循环载荷，然后迫使枢轴和推杆运动。气门顶端循环载荷从零到特定的最大载荷之间变化。图4.9示出了阶梯试验的结果，图4.10示出了气门顶端载荷计算值（(N)）相对于发动机转速（(r/\mathrm{min})）的变化。

（1）采用迪克逊–姆德方法，分析(10^7)次循环时阶梯疲劳试验的统计疲劳强度。
（2）采用单侧下界公差极限方法，确定(10^7)次循环时的R90C90疲劳强度。
（3）计算安全系数，检验摇臂设计是否满足耐久性目标。

解：鉴于试件存活的数量小于失效的数量，故而对存活试件进行计数：

\[\begin{align*} i = 0 &\quad P_0 = 14500\mathrm{N} \quad n_{\mathrm{DM},0} = 3 \\ i = 1 &\quad P_1 = 14900\mathrm{N} \quad n_{\mathrm{DM},1} = 4 \\ i = 2 &\quad P_2 = 15300\mathrm{N} \quad n_{\mathrm{DM},2} = 4 \\ i = 3 &\quad P_3 = 15700\mathrm{N} \quad n_{\mathrm{DM},3} = 3 \\ i = 4 &\quad P_4 = 16100\mathrm{N} \quad n_{\mathrm{DM},4} = 1 \\ i = 5 &\quad P_5 = 16500\mathrm{N} \quad n_{\mathrm{DM},5} = 0 \\ \end{align*} \]

\[\sum n_{\mathrm{DM},i} = 15 \]

（1）求解疲劳极限的平均值，

\[\mu_{\mathrm{s}} = P_0 + P_{\mathrm{d}}\left(\frac{A_{\mathrm{DM}}}{\sum n_{\mathrm{DM},i}} \pm \frac{1}{2}\right) \]

式中：(A_{\mathrm{DM}} = \sum (i)(n_i))，(\mu_{\mathrm{s}} =)在一个给定寿命时的平均疲劳强度；(P_0 =)小概率事件发生时的最低载荷水平；(P_{\mathrm{d}} =)载荷增量；(n_{\mathrm{DM},i} =)编号为(i)应力水平时的小概率事件数。

需要注意的是，如果小概率事件是存活率则使用加号，如果小概率事件是失效则使用减号。

\[A_{\mathrm{DM}} = \sum (i)(n_{\mathrm{DM},i}) = 0 \times 3 + 1 \times 4 + 2 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 1 + 5 \times 0 = 25 \]

\[\mu_{\mathrm{s}} = P_0 + P_{\mathrm{d}}\left(\frac{A}{\sum n_{\mathrm{DM},i}} + \frac{1}{2}\right) = 14500 + 400 \times \left(\frac{25}{15} + \frac{1}{2}\right) = 15400 \]

（2）求解疲劳极限的标准差，

\[B_{\mathrm{DM}} = \sum (i^2) \cdot (n_{\mathrm{DM},i}) \]

\[B_{\mathrm{DM}} = 0^2 \times 3 + 1^2 \times 4 + 2^2 \times 4 + 3^2 \times 3 + 4^2 \times 1 + 5^2 \times 0 = 63 \]

\[\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} = \frac{63 \times 15 - 25^2}{15^2} = 1.42 \]

由于(1.42 > 0.3)，(\sigma_{\mathrm{s}} = 1.62P_{\mathrm{d}}\left(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} + 0.029\right))

\[\sigma_{\mathrm{s}} = 1.62 \times 400 \times \left(\frac{63 \times 15 - 25^2}{15^2} + 0.029\right) = 940 \]

（3）利用单侧下界公差极限法和表4.6中的(n = 15)，确定在(10^7)次循环时的R90C90疲劳强度：

\[P_{\mathrm{R90C90}} = \mu_{\mathrm{s}} - K_{\mathrm{R90C90}}\sigma_{\mathrm{s}} = 15400 - 1.866 \times 940 = 13646 \]

（4）计算安全系数，检验摇臂设计是否满足目标：

带入(P_{\max} = 8000\mathrm{N})

\[\text{设计系数} = \frac{P_{\mathrm{R90C90}}}{P_{\max}} = \frac{13646}{8000} = 1.71 > S.F. = 1.3 \]

3.编程计算

4.附录

4.3 完整程序


import mathdef calculate_fatigue_properties(lowest_level, increment, n_list, is_survival=True):"""基于迪克森-姆德法计算疲劳极限统计特性:param lowest_level: 最低应力/载荷水平（S0或P0）:param increment: 应力/载荷增量（d或Pd）:param n_list: 各水平小概率事件数列表（索引对应i值）:param is_survival: 是否为存活率（True=存活率，False=失效数）:return: 平均值、标准差"""sum_n = sum(n_list)# 计算A_DM和B_DMA_DM = 0B_DM = 0for i, n in enumerate(n_list):A_DM += i * nB_DM += (i ** 2) * n# 计算平均值sign = 0.5 if is_survival else -0.5mean = lowest_level + increment * (A_DM / sum_n + sign)# 计算标准差numerator = B_DM * sum_n - A_DM ** 2denominator = sum_n ** 2ratio = numerator / denominatorif ratio >= 0.3:std = 1.62 * increment * (ratio + 0.029)else:std = 0.53 * incrementreturn mean, std, A_DM, B_DMdef get_k_coefficient(sample_size, reliability, confidence):"""从表4.6获取K系数（仅包含案例所需数值，可扩展完整表格）:param sample_size: 样本量（sum_n）:param reliability: 存活率（如0.95、0.90）:param confidence: 置信水平（如0.90）:return: K系数"""# 表4.6关键数据映射（n: {置信度: {存活率: K值}}）k_table = {12: {0.90: {0.95: 2.448}},  # 例4.5所需：n=12, C=0.90, R=0.9515: {0.90: {0.90: 1.866}}   # 例4.6所需：n=15, C=0.90, R=0.90}return k_table[sample_size][confidence][reliability]def calculate_lower_bound(mean, std, k):"""计算单侧下界疲劳强度（S_s,R,C 或 P_R90C90）"""return mean - k * std# ---------------------- 例4.5 计算 ----------------------
print("="*50)
print("例4.5 计算结果")
print("="*50)
# 例4.5参数：S0=360MPa，d=20MPa，各i对应的n值（i=0到4）
n_list_45 = [1, 4, 6, 1, 0]  # i=0到4的n_DM,i
S0_45 = 360
d_45 = 20
sum_n_45 = sum(n_list_45)# 计算平均值和标准差
mean_45, std_45, A_45, B_45 = calculate_fatigue_properties(S0_45, d_45, n_list_45, is_survival=True)
print(f"A_DM = {A_45}, B_DM = {B_45}")
print(f"疲劳极限平均值μ_s = {mean_45:.2f} MPa")
print(f"疲劳极限标准差σ_s = {std_45:.2f} MPa")# 计算R95C90值（存活率95%，置信水平90%）
k_45 = get_k_coefficient(sum_n_45, 0.95, 0.90)
lower_bound_45 = calculate_lower_bound(mean_45, std_45, k_45)
print(f"R95C90疲劳极限 = {lower_bound_45:.2f} MPa")# ---------------------- 例4.6 计算 ----------------------
print("\n" + "="*50)
print("例4.6 计算结果")
print("="*50)
# 例4.6参数：P0=14500N，Pd=400N，各i对应的n值（i=0到4）
n_list_46 = [3, 4, 4, 3, 1]  # i=0到4的n_DM,i
P0_46 = 14500
Pd_46 = 400
sum_n_46 = sum(n_list_46)
P_max_46 = 8000  # 最大工作载荷
safety_factor_req = 1.3  # 要求的安全系数# 计算平均值和标准差
mean_46, std_46, A_46, B_46 = calculate_fatigue_properties(P0_46, Pd_46, n_list_46, is_survival=True)
print(f"A_DM = {A_46}, B_DM = {B_46}")
print(f"疲劳载荷平均值μ_s = {mean_46:.2f} N")
print(f"疲劳载荷标准差σ_s = {std_46:.2f} N")# 计算R90C90值（存活率90%，置信水平90%）
k_46 = get_k_coefficient(sum_n_46, 0.90, 0.90)
lower_bound_46 = calculate_lower_bound(mean_46, std_46, k_46)
print(f"R90C90疲劳载荷 = {lower_bound_46:.2f} N")# 计算安全系数
safety_factor = lower_bound_46 / P_max_46
print(f"实际安全系数 = {safety_factor:.2f}")
print(f"是否满足设计要求（≥{safety_factor_req}）: {'是' if safety_factor >= safety_factor_req else '否'}")