P14463 【MX-S10-T4】『FeOI-4』呼吸之野
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Solution
大战此题 6h。
判定中位数 \(\ge x\) 有经典套路：把 \(\ge x\) 的位置看作 \(1\)，\(<x\) 的位置看作 \(-1\)，区间和 \(\ge 0\) 即合法。
所以枚举 \(x=1\sim n\)，维护 \(f_i\) 为以 \(i\) 为右端点时最大的合法左端点是谁。离线直接做就是 \(O(n(n+q))\) 了。
继续优化，发现若某个时刻 \([f_j,j]\subseteq[f_i,i]\)，那么在之后的时刻也一定有 \([f_j,j]\subseteq[f_i,i]\)。
反证法，设下一个时刻 \([f_i,i]\) 不再包含 \([f_j,j]\)，即 \(f'_j<f'_i\)。
此时有 \(a[f'_i,f_j]<0\)，否则对于 \(j\) 来说 \(f_i'\) 比 \(f'_j\) 优。而此时对于 \(i\) 来说 \(f_j\) 又比 \(f'_i\) 优，矛盾。
所以此时 \(i\) 就没用了，直接删掉。
直接这样做还是不好维护何时会删掉 \(i\)。但我们得到，每个右端点在一段前缀里存在。
换个方向扫描线，扫序列维护值域。对每个 \(x\) 维护当前最后一个存在的右端点 \(j\)，每次二分求 \(i\) 最后存在的时间，可以做到 \(O(n\log^2 n)\)。
发掘更多性质，进行分类讨论：
- \(s_i-s_j>0\)，一定有 \(f_i>f_j\)。
- \(s_i-s_j\le 0\)，若 \(f_i>f_j\)，一定有 \(s_j-s_{f_i-1}\ge 0\)。也就是在区间 \([j-k+1,j]\) 中，不存在 \(s_i-s_{p-1}\ge 0\)。
不难证明这就是充要条件。
在值域上建线段树，那么需要维护 \(s_i-s_j\) 的最大值，\(s_i-s_{p-1}\) 的最大值。
\(s_i-s_{p-1}\) 的最大值可以用历史最大值维护。加入 \(i\) 后，加入 \(s_{i-k+1}\) 的变化，再将这段的历史最大值清空为当前最大值。
回答询问时，按 \(x\) 离线，然后二分找对应右端点区间。但是找区间左端点时还需要二分，\(O(q\log^2 n)\)。
但可以把序列翻转后求出左端点，由于区间没有包含，可以直接把左右端点按排名对应起来。这样就能 \(O(q\log n)\) 了。
需要维护的信息：\(s_i-s_j\) 的最大值，\(s_i-s_{i-k}\) 的当前最大值，\(s_i-s_{p}\) 的最大值。
需要维护的标记：\(s_i-s_j\) 的加标记和赋 \(0\) 标记，\(s_i\) 的加标记，\(s_{i-k}\) 的加标记和历史最大加标记，历史最大值清空标记。
https://www.luogu.com.cn/record/246994662
https://www.luogu.com.cn/record/247014093
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