简单二分

如果你被「左闭右开二分」、「左闭右闭二分」等刁钻问题纠结的很烦恼，不妨看一下这篇博客。希望这篇博客能让你再也不用纠结于这些刁钻问题。

引入

先来个瞎编的例题

• 交互。有一个长为 \(N\) 的 01 字符串 \(S\)，下标从 \(1\) 到 \(N\)（\(1 \leq N \leq 10^6\)）。
• 你只知道 \(N\) 的值，而不知道 \(S\) 具体是什么样。
• 保证存在一个位置 \(p\)（\(1 \leq p < N\)）使得，\(S_1\) 到 \(S_{p}\) 全为 0，\(S_{p+1}\) 到 \(S_N\) 全为 1。
• 每次可以询问一个 \(S_i\) 的值。需要在 \(30\) 次操作内找到 \(p\) 是多少。

也就是说 \(S\) 一定形如 \(\mathtt{00111111}\) 这样，并且 \(S_1\) 必定为 0，\(S_N\) 必定为 1。

我们考虑如下步骤：

1. 使用两个变量 \(l\)、\(r\)。\(l\) 初始为 \(1\)，\(r\) 初始为 \(N\)。
2. 当 \(l = r - 1\) 时，结束。否则进行下一步。
3. 令变量 \(mid\) 为 \(\left \lfloor \dfrac{l + r}{2} \right \rfloor\)。若 \(S_{mid}\) 为 0，将 \(l\) 更新为 \(mid\)。否则（\(S_{mid}\) 为 1），将 \(r\) 更新为 \(mid\)。
4. 重新回到第二步。

举个具体例子。假设 \(N\) 为 \(12\)，字符串 \(S\) 为 \(\mathtt{000011111111}\)。

我们用红色代表 \(l\) 指向的位置，蓝色代表 \(r\) 指向的位置：

\[\mathtt{{\color{red}0}0001111111{\color{blue}1}} \]

此时\(l = 1\)、\(r = 12\)、\(mid = \left \lfloor \dfrac{1 + 12}{2} \right \rfloor = 6\)。

\[\mathtt{{\color{red}0}0001{\color{orange}1}11111{\color{blue}1}} \]

由于 \(S_{mid}\) 为 1，将 \(r\) 更新为 \(mid\)：

\[\mathtt{{\color{red}0}0001{\color{blue}1}111111} \]

此时\(l = 1\)、\(r = 6\)、\(mid = \left \lfloor \dfrac{1 + 6}{2} \right \rfloor = 3\)。

\[\mathtt{{\color{red}0}0{\color{orange}0}01{\color{blue}1}111111} \]

由于 \(S_{mid}\) 为 0，将 \(l\) 更新为 \(mid\)：

\[\mathtt{00{\color{red}0}01{\color{blue}1}111111} \]

此时\(l = 3\)、\(r = 6\)、\(mid = \left \lfloor \dfrac{3 + 6}{2} \right \rfloor = 4\)。

\[\mathtt{00{\color{red}0}{\color{orange}0}1{\color{blue}1}111111} \]

由于 \(S_{mid}\) 为 0，将 \(l\) 更新为 \(mid\)：

\[\mathtt{000{\color{red}0}1{\color{blue}1}111111} \]

此时\(l = 4\)、\(r = 6\)、\(mid = \left \lfloor \dfrac{4 + 6}{2} \right \rfloor = 5\)。

\[\mathtt{000{\color{red}0}{\color{orange}1}{\color{blue}1}111111} \]

由于 \(S_{mid}\) 为 1，将 \(r\) 更新为 \(mid\)：

\[\mathtt{000{\color{red}0}{\color{blue}1}1111111} \]

此时 \(l = r - 1\)，步骤结束。

之后我们来分析一下 \(l\) 和 \(r\) 的位置有什么意义。

在一开始的时候，\(l\) 指向 0，\(r\) 指向 1。

每次根据 \(mid\) 移动完 \(l\) 和 \(r\) 后，\(l\) 依旧指向 0，\(r\) 还是指向 1。

而当步骤结束的时候，\(l\) 和 \(r\) 刚好贴到一起了。这样一来，此时 \(l\) 所指向的，恰好是最后一个为 0 的位置，而 \(r\) 指向第一个 \(1\) 的位置。

而题目要我们求的，就是最后一个 0 的位置。这样一来，我们把最后得到的 \(l\) 拿出来即可。

进一步

如果上述题目当中，\(S\) 有可能全是 0 或者全是 1，应该怎么办？

我们可以修改一下上述算法。让 \(l\) 初始指向 \(0\)，\(r\) 初始指向 \(N + 1\)。然后正常做即可。

如果全 0，结束之后 \(l = N\)、\(r = N + 1\)。

如果全 1，结束之后 \(l = 0\)、\(r = 1\)。

总之也是很符合直觉的。

你无需担心在过程中访问到 \(1 \sim N\) 以外的 \(S\) 的位置。

感性上理解，因为我们一开始就假定了 \(0\) 的位置一定是 0，\(N+1\) 的位置一定是 1，我们不需要再去 check 一遍它到底是不是。

或者从式子上看，由于每次取 \(mid\) 之前，有 \(l < r - 1\) 成立。因此有 \(l < mid < r\)。整个过程中 \(l\) 不会比 \(0\) 小，\(r\) 不会比 \(N+1\) 大，因此 \(mid\) 无法取到 \(0\) 或者是 \(N + 1\)。

总结一下思路

\(l\) 和 \(r\)，两个指针，一个只指向 \(0\)，一个只指向 \(1\)（这里 \(0\) 和 \(1\) 指的是，用来分界的条件是否成立），这样结束（也就是 \(l\) 和 \(r\) 贴贴）之后，不管是想要最后一个 \(0\) 还是第一个 \(1\) 都可以直接拿。十分无脑。

细节

• 注意两边到底是什么性质。别更新反了。
• 注意初始情况下 \(l\) 和 \(r\) 一定要指对地方。如果实际有效范围（比如上述题目里的 \([1, N]\)）你无法保证端点（\(1\) 和 \(N\)）的性质的话，就像上面的例题一样，额外往外推一下，相当于让 \(l\) 和 \(r\) 先初始指向人为设置的哨兵节点。

还是例题

之后简单再举个例子。

CF2132E Arithmetics Competition

题目大意：

• 给定两堆牌 A 和 B，每张牌都有权值。两堆牌的权值分别记作 \([a_1, a_2, \ldots, a_n]\) 与 \([b_1, b_2, \ldots, b_m]\)。\(1 \leq n,m \leq 2 \times 10^5\)
• \(q\) 次询问。\(q \leq 10^5\)。每次询问三个非负整数 \(x\)、\(y\)、\(z\)，问，从牌堆 A 选出不超过 \(x\) 张牌，牌堆 B 选出不超过 \(y\) 张牌，总共不超过 \(z\) 张牌的情况下，权值之和最大可以是多少。\(0 \leq x \leq n\)、\(0 \leq y \leq m\)、\(0 \leq z \leq x + y\)。

朴素的贪心是，把两堆牌混合在一起，从大到小排序然后取。考虑如何优化这一过程。

观察一下发现，在上述过程中，在 \(x\)、\(y\)、\(z\) 有一个减为 \(0\) 之前，一定是遇到的牌都能选。在此之后，\(x\)、\(y\)、\(z\) 当中不管是哪个减为 \(0\)，你都只能在至多一堆牌当中去选。

假定两堆牌合并后得到长度为 \(n + m\) 的数组。

我们先去二分一个 \(pos\)，使得 \([1, pos]\) 的数可以全选，而 \([1, pos+1]\) 的无法全选。前缀和维护一下前缀有多少个 A 的牌，多少个 B 的牌即可。

• \(l\) 初始为 \(0\)，\(r\) 初始为 \(z + 1\)；
• 左边具有性质：\([1, mid]\) 当中的 A 牌数量 \(\leq x\) 且 B 牌数量 \(\leq y\)；
• 右边性质则是它的反。
• 结束后取出 \(l\) 作为 \(pos\)。

之后，对于 \(pos+1\) 及以后的位置，之后如果还能选牌，那么要么只能选 A，要么只能选 B。以 A 为例。我们要找一个位置 \(end\)，使得：\([pos+1, end]\) 当中的 A 可以全选，\([pos+1, end+1]\) 中的 A 没法全选。

• \(l\) 初始为 \(pos\)，\(r\) 初始为 \(n + m + 1\)；
• 左边具有性质：\([1, mid]\) 当中的 A 的数量 \(\leq min \{ x, z \}\)；
• 右边性质则是它的反。
• 结束后取出 \(l\) 作为 \(end\)。

即可轻松简单的解决这个题。

代码：https://codeforces.com/contest/2132/submission/334851310