杂题记录 4

NOIP 前咋还布置一堆数据结构 /yun，关键布置的有八成都是做过的。于是乱找了些 DS 做。

P14363 [CSP-S 2025] 谐音替换 / replace

发现是询问 \(p\in P,q\in Q\) 的 \((p,q)\) 的个数的形式，其中 \(p\in P\) 指的是 \(p\) 是 \(P\) 的前缀。

考虑 ccf 的数据很水，卡你暴力肯定是塞一堆短串，于是把短串长度小于等于一个数 \(L\) 的串丢哈希表里，然后查询的时候 \(O(L^2)\) 暴力查一遍，取 \(L=10\) 跑的飞快。

P4475 巧克力王国

随机数据求半平面内点权和。

把 KDT 建出来后暴力查询，假如一个节点的矩形四个顶点都在半平面或都不在就退出。期望 \(O(\sqrt n)\)，这个题的数据能过，但常数极大。

考虑一个事情，因为点随机，我们把平面划分成 \(n\) 个 \(\sqrt n \times \sqrt n\) 的网格，每个格子内期望的点个数是 \(O(1)\) 的。

考虑半平面直线切过去，对于每一列应该是一个前缀的整的网格再补上一段散的，然而总共的散块是 \(O(\sqrt n)\) 的，对于每一列的前缀和预处理一下，就能做到 \(O(\sqrt n)\) 的复杂度。

假如数据不随机，考虑半平面数点的做法 \(n\sqrt q \log n\)，在这个题难以通过。

P4898 [IOI 2018] seats 排座位

咋这么聪明。

我们将前 \(k\) 个点染黑，其余点染白，考虑刻画矩形，这相当于要满足：

一个白点四个方向的黑点个数小于二。

对于黑点左方和上方的点均为白点的黑点，这样的黑点个数为 \(1\)。

考虑如何维护答案，我们可以发现对于一个点 \((r,c)\)，它满足条件的 \(k\) 是一个区间 \([l,r]\)，而我们只需要每个点两个条件满足其中一个。

考虑把满足条件的区间加上 \(1\)，那么答案其实就是全局 \(1\) 的个数，然而每个位置的值大于等于 \(0\)，考虑经典套路，那我们线段树维护最小值和严格次小值以及它们的出现次数即可。

P8626 [蓝桥杯 2015 省 A] 灾后重建

咋这么蠢。

考虑建重构树，发现求的其实是一个区间 \([l,r]\) 满足 \(i\) 模 \(k\) 余 \(c\in[0,k)\) 的点的 lca

预处理用欧拉序st表 \(O(1)\) 查 lca，对 \(k>\sqrt n\) 暴力即可，对于 \(k\leq \sqrt n\) 我们对每个 \((k,c)\) 建出个可以维护区间 lca 的数据结构即可。

考虑用线段树，这样预处理单次是线性的，这样总复杂度是 \((n+q)\sqrt n\) 的。

P11691 [Ynoi Hard Round 2025] 《十字神名的预言者》慈悲（色彩）

二维平面有 \(n\) 个点，每个点有个权值，还有 \(m\) 个半平面，多次查询区间半平面的交中的点权和。

考虑答案为区间半平面补的并的权值和的补。

类似 rrusq 的做法，只不过是在半平面上。我们扫描线，然后变成给半平面的时间改为 \(i\)，以及查询全局时间 \(\ge l\) 的点权和。

随机数据下 KDT 可过，做法与 rrusq 相同，半平面下有平面最优划分树，能做到将半平面划分到树上的 \(\sqrt n\) 个节点。

平面划分树的建法，我也不太会，网上关于这个的讲解很少。

大概做法是递归建树，划分树上的每个点维护平面上的一个简单多边形的点集，我们取三角形或凸四边形，这样方便我们快速判断一个点是否在这个点集内，以及判断半平面的直线是否与这块平面有交。

然后每次我们只递归与半平面相交的部分。

根据 r切割 的理论，存在分割法可以将平面划分成 \(r^2\) 个子平面，且每次递归只会递归 \(r\) 个子平面。

啥时候想通了或者半平面普及了我就去写。