好题集 (1) - LG P3978 [TJOI2015] 概率论

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设 \(f_n\) 表示有 \(n\) 个结点的二叉树的总数，\(g_n\) 表示在有 \(n\) 个结点的 \(f_n\) 棵二叉树中叶子的总数。那么答案就应为\(\frac{g_n}{f_n}\)。考虑怎么求。打表（link）发现 \(g_n=n\cdot f_{n-1}\)。

证明一下这个结论。假设现在有一棵 \(n\) 个结点构成的二叉树，树上有 \(k\) 个叶子。若把这 \(k\) 个叶子扔掉，就可以得到 \(k\) 棵不同的、由 \(n-1\) 个结点构成的二叉树。而每棵有 \(n-1\) 个结点的二叉树都可以找出 \(n\) 个空位来放置新的叶子（可以画图理解），换言之，每棵 \(n-1\) 个结点构成的二叉树都会被得到 \(n\) 次。于是就有 \(g_n=n\cdot f_{n-1}\)。

又由一些卡特兰数相关的前置知识（当然由上面打的表也可以猜出来），\(f_n=C_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)。回代化简，大力推柿子：

\[\begin{align*} \frac{g_n}{f_n}&=\frac{n\cdot f_{n-1}}{f_n}\\ &=n\cdot f_{n-1}\cdot (f_n)^{-1}\\ &=n\cdot\frac{C_{2(n-1)}^{n-1}}{n}\cdot\frac{n+1}{C_{2n}^n}\\ &=\frac{C_{2n-2}^{n-1}\cdot(n+1)}{C_{2n}^n}\\ &=C_{2n-2}^{n-1}\cdot(n+1)\cdot(C_{2n}^n)^{-1}\\ &=\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!}\cdot\frac{(n+1)n!}{(2n)!}\\ &=\frac{1}{(n-1)!(n-1)!}\cdot\frac{(n+1)!n!}{2n(2n-1)}\\ &=\frac{1}{(n-1)!}\cdot\frac{(n+1)!n}{2n(2n-1)}\\ &=\frac{1}{(n-1)!}\cdot\frac{(n+1)!}{2(2n-1)}\\ &=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)} \end{align*} \]

答案即为 \(\frac{n(n+1)}{2(2n-1)}\)。提交记录。

（补证一个问题：为什么二叉树同构数恰好是卡特兰数？）

考虑一棵二叉树的前、中序遍历序列。不难发现前者就是入栈序列，后者就是出栈序列。

若入栈序列固定，那按照卡特兰数的定义，出栈序列数就是卡特兰数。

又因为前、中序遍历合在一起即可确定一棵二叉树，所以二叉树同构数就是卡特兰数。