B4093 [CSP-X2021 山东] 发送快递

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本题弱化版（？）：P3052，P10483

二者互为双倍经验。

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首先对于一个强制捆绑组里的物品，我们直接使用并查集，将一个并查集里的物品合成为一个大物品就好了。那它就变成了 \(s=0\) 时的情况。

接下来均考虑 \(s=0\) 的情况。

先说说暴力做法吧，考场上打一打还是很有用的。

暴力做法 \(O(2^nn^2)\)

\(s=0\) 的情况下，这道题就是数据加强后的这俩题。详解可以看这里。

转述一下那个题的思路。设 \(dp_{i,S}\) 表示当前已经开到了第 \(i\) 班快递，并且已经邮出去的书的集合为 \(S\) 的情况下，最后一班快递的总重量最小是多少。

刷表法转移这个似乎更快一点。我们就考虑当前这个状态能转移到哪去。

我们枚举当前还没进快递的书包 \(k\)，如果下一个进快递的是它，先给出结论：只需要两种情况，一种是新开一个快递让它装进去，一种是让它进最后一班快递。

为什么不考虑它进入先前快递的情况呢？因为我们发现，它进的如果是靠前一点的快递的话，那当这班快递还是最后一班快递的时候应该考虑过这个情况了。

我们细想一下，它在这班快递时可能有多本书和它一班，它和其他书的所有可能组合，都应该在这个靠前一点的快递还是最后一班快递时考虑过了。

剩下的就好懂多了。直接上暴力代码。

B4093暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=24;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,a[N],fa[N],dp[2][(1<<(N-1))+3],b[N],cnt,to[N];
string s;inline int FIND(int x){return (x==fa[x]?x:fa[x]=FIND(fa[x]));
}inline void MERGE(int x,int y){int fx=FIND(x),fy=FIND(y);if(fx==fy) return ;fa[fy]=fx;
}signed main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);fa[i]=i;}int ss;scanf("%d",&ss);for(int i=0;i<=ss;i++){int x,lst=-1,num=0;//用了一个很猎奇的方法处理不定个数字：读字符串。。。 getline(cin,s);s=s+' ';int len=s.size();for(int j=0;j<len;j++){if(s[j]==' '){x=num;if(lst!=-1){//将上一个与它合并，这样一整个该行输入都会被合并起来 MERGE(x,lst);}lst=x;num=0;}else{num=num*10+s[j]-'0';}}}//b数组为合并后的数组，这里是在处理b for(int i=1;i<=n;i++){int fi=FIND(i);if(!to[fa[i]]){to[fa[i]]=++cnt;}b[to[fa[i]]]+=a[i];}n=cnt;for(int i=0;i<n;i++){a[i]=b[i+1];}for(int i=0;i<=n;i++){for(int S=0;S<(1<<n);S++){dp[(i&1)][S]=inf;}}//由于空间不够，所以dp数组用滚动数组优化空间 //初始化，第一班快递里什么书都不装的话，那总重显然是0 dp[1][0]=0;for(int i=0;i<=n;i++){for(int S=0;S<(1<<n);S++){if(dp[(i&1)][S]!=inf){//只有当前状态合法才能转移 for(int k=0;k<n;k++){//枚举当前没进快递的书包 if(S&(1<<k)) continue;//新开一班快递 dp[((i+1)&1)][(S|(1<<k))]=min(dp[((i+1)&1)][(S|(1<<k))],a[k]);//进最后一班快递 if(dp[(i&1)][S]+a[k]<=m){dp[(i&1)][(S|(1<<k))]=min(dp[(i&1)][(S|(1<<k))],dp[(i&1)][S]+a[k]);}}}}//如果当前用i班快递就能送完所有书的话，那答案就是i了 if(dp[(i&1)][(1<<n)-1]!=inf){printf("%d\n",i);break;}}return 0;
}

正解

100 分做法在此基础上，就是一句话的事情：你要把当前某个即将加入快递序列的书，放进当前最空的快递序列里。如果实在装不下，就新开一班快递。

那有的人就要问了：假设当前有一个 \(x\)，\(x\) 可以装进 \(u,v\) 两班快递里（\(v\) 的剩余容量比 \(u\) 大），并且有一个 \(y\) 只能装进 \(v\) 里（并且 \(x,y\) 由于容量不够不能同时装进 \(v\) 里），那万一让 \(y\) 装进 \(v\)，\(x\) 装进 \(u\) 的情况更优怎么办？

可是我们接着思考一下这个情况：当我们先考虑 \(y\) 而非 \(x\) 时，\(y\) 装进去的就是最空的那班快递序列 \(v\)；然后再考虑 \(x\) 的话，就会考虑到 \(x\) 装进 \(u\) 的情况了（如果 \(u\) 是当前最空的话）。

或者我这么说，按我们这个逻辑考虑的话，对于有 \(x\) 无 \(y\) 的情况 \(S\)，让 \(x\) 进 \(v\) 更优；有 \(y\) 无 \(x\) 的情况 \(T\)，也是让 \(y\) 进 \(v\) 最优。

而当我们转移有 \(x\) 有 \(y\) 的状态时，我们会考虑 \(S\) 状态加入 \(y\) 的转移，此时明显只能新开一班快递；但是如果是从 \(T\) 状态里加入 \(x\) 的话，\(x\) 可以进入 \(v\) 快递，就不需要再开一班快递了。所以显然是从 \(T\) 状态转移优。

所以我们这样相当于是考虑了这种情况、也考虑了一个不是很优的情况，但是最终转移肯定是从最优状态转移而来，所以它是正确的。

所以我们对于每个 \(S\) 维护它要开多少班快递，以及最空的那班快递的最小容量。

我们可以填表法转移，每次枚举最后一个进快递的书 \(i\) 并转移状态 \(S\) 即可。

然后我们就能以 \(O(n2^n)\) 的时间复杂度通过本题。考虑到极限情况下要跑 \(2 \times 10^8\)，所以千万不要把常数写大。

代码：

B4093正解

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;const int N=25;
const int inf=2147483647;
int n,m,a[N],fa[N],to[N],b[N],cnt;
string s;
struct sw{int cnt,val;
}dp[(1<<(N-1))+5]; 
//dp[S]:当前送出去的快递集合是S，最小要送多少班快递，并且每班快递里最空的一班快递的容量 
bool operator <(const sw SW,const sw WS){//对于一个状态来说，首先要让开的快递班数尽可能小，其次要让最小容量最小 return (SW.cnt==WS.cnt?SW.val<WS.val:SW.cnt<WS.cnt);
}inline int FIND(int x){return (x==fa[x]?x:fa[x]=FIND(fa[x]));
}inline void MERGE(int x,int y){int fx=FIND(x),fy=FIND(y);if(fx==fy) return ;fa[fy]=fx;
}signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];fa[i]=i;}int ss;cin>>ss;for(int i=0;i<=ss;i++){int x,lst=-1;cin>>lst;if(cin.get()=='\n') continue;while(cin>>x){MERGE(x,lst);if(cin.get()=='\n') break;}}//b数组为合并后的数组，这里是在处理b for(int i=1;i<=n;i++){int fi=FIND(i);if(!to[fa[i]]){to[fa[i]]=++cnt;}b[to[fa[i]]]+=a[i];}n=cnt;for(int i=0;i<n;i++){a[i]=b[i+1];}//预处理部分同上 for(int S=0;S<(1<<n);S++){dp[S]={N,inf};}for(int i=0;i<n;i++){dp[(1<<i)]={1,a[i]};}for(int S=1;S<(1<<n);S++){if((S&(S-1))==0) continue;//1后面很多0的情况，这样的情况是初始化了的，所以不参与转移//刚才为什么要提常数写大了的事呢。。。因为这里的mn只需要在第一层循环更新S状态，在第二层更新的话很可能T sw mn={N,inf};for(int i=0;i<n;i++){if((S&(1<<i))){sw s;if(a[i]+dp[S^(1<<i)].val>m){//新开一班快递 s={dp[S^(1<<i)].cnt+1,a[i]};}else{//挤进当前的快递 s={dp[S^(1<<i)].cnt,dp[S^(1<<i)].val+a[i]};}if(s<mn){mn=s;}}}dp[S]=mn;}int ans=dp[(1<<n)-1].cnt;cout<<ans;return 0;
}