P13573 [CCPC 2024 重庆站] Pico Park

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题意：

游戏中，有 \(n\le 500\) 名玩家，依次站在数轴的 \(1,2,3, \dots, n\) 处，第 \(i\) 名玩家有一个面向的方向 \(d_i\)，为向左或向右。

每名玩家手里有一把缩小枪，玩家会按照一个排列 \(p\) 的顺序行动，当轮到玩家 \(x\) 行动时：

• 若该玩家已经被缩小，则其不会进行任何行动。
• 否则，其会向其面对的方向发射子弹，子弹会击中面对方向的第一个未被缩小的玩家（若面对方向已经没有玩家，则不会击中任何人）。被击中的玩家会立刻被缩小。

对于每一个 \(1\leq k\leq n\)，有多少个排列会使最终剩余 \(k\) 个未被缩小的玩家？

由于答案很大，你只需要输出答案对 \(998244353\) 取模后的值。

思路：

因为每次射击只能攻击与自己最近的人，刻画生死关系：\(x\) 向 \(y\) 连边当且仅当 \(x\) 杀死 \(y\)，可以发现删除操作一定是若干个不交链，且每条链的 编号区间 \([l,r]\) 连续且不交 。但是我们无法保证每一个编号区间都可以形成一条合法的生死关系。

考虑相邻两个人会被如何消除：若出现了 \(s_i=L \and s_{i+1}=R\) ，那么显然会至少导致两个人存活，所以一个编号序列中不可能存在 \(LR\) 类状物。由此可得：一个合法的编号区间所对应的字符串一定形如：\(R\dots RL\dots L\)

因为一条链上最终只能存活一个人，加上我们在前面提到的生死链不交，所以考虑 区间 dp

考虑一个幸存者 \(x\) 在一个合法编号区间 \([l,r]\and r-l+1\ge 2\) 的位置：

• \(x=l\) ：

  • 当 \(S_x=L\) 时，无论如何都无法存活

  • 当\(S_x=R\) 时，删去该端点，使编号区间变成 \([l+1,r]\) ，仍然会是一个合法编号区间，显然可以先让 \([l+1,r]\) 删到只剩一个幸存者 \(y\)，然后再让 \(x\) 攻击 \(y\)

• \(l< x<r\)

  把当前区间分成三段：\([l,x-1],x,[x+1,r]\) ，因为 \(x\) 未被删除，所以区间 \([l,x-1]\) 内的攻击无法攻击到 \([x+1,r]\) ，因此可以把这条链拆成独立的两条链 \([l,x-1],[x+1,r]\) ，因为一条链最终只能存活一个人，因此在 \(x\) 的两边各有一个人等待删除，但 \(x\) 的出度只有 \(1\) ，因此至少有两个人存活。

• \(x=r\) ，同 \(x=l\)

所以一个合法编号区间的幸存者只会存在于区间的两个端点，我们设 \(g_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 是合法区间的排列方案数。有转移

\[g_{l,r}=(g_{l,r-1}\and (S_r=L))+(g_{l+1,r}\and (S_l=R)) \]

注意到我们此时没有安排第一个被删除的人在排列中的位置，因为第一个人不能攻击到区间内外的任意一个人，所以第一个人在排列中的位置一定在被删除之后，所以我们仍需要

\[g_{l,r}=g_{l,r}*(r-l) \]

但是当 \(l=1,S_1=L\) 时，包含 \(1\) 的合法区间一定形如 \(L\dots L\)，此时 \(1\) 一定被第一个删除，且 \(1\) 可以攻击外部，所以 \(g_{1,i}=g_{1,i}+1\)

当 \(r=n,S_n=R\) 时同理。

那么我们最后的任务是合并这若干个合法区间，设 \(f_{i,j}\) 表示已经合并到了 \(i\) 号位置，当前有 \(j\) 个区间。因为每个区间有且仅有一人存活，所以答案即为 \(f_{n,j}\)。

\(f\) 的转移是容易的。