自适应动态规划（Adaptive Dynamic Programming，ADP）算法，采用演员-评论家（评价-执行）网络，看这一文即可【非常详细推导，认真推理，包你看得懂】

自适应动态规划（Adaptive Dynamic Programming，ADP）算法，采用演员-评论家（评价-执行）网络，看这一文即可【非常详细推导，认真推理，包你看得懂】 - 实践

news/2025/11/12 13:48:12/文章来源:https://www.cnblogs.com/yangykaifa/p/19213721

一、ADP的结构和基本原理

1、ADP的基本结构

设有离散时间非线性动态系统：
$\begin{gather} \begin{aligned} x(k+1)=f[x(k),u(k),k], \ \ \ k=0,1,... \end{aligned}\end{gather}$ 式中, $\in R^n$ 表示系统的状态向量; $\in R^m$ 表示控制动作; $f$ 是系统函数。与该系统对应的 $k$ 时刻性能指标(或代价)函数通常考虑为二次型成本函数为:
$\begin{gather} \begin{aligned} J[x(k),k] = \sum\limits_{i = k}^\infty {{\gamma ^{i - k}}(x{{(i)}^T}Qx(i) + u{{(i)}^T}Ru(i))} \end{aligned}\end{gather}$ 其中， $\in {^{n \times n}}$ 是正定状态权重矩阵； $\in {^{n \times n}}$ 是正定控制权重矩阵； $\gamma$ 是折扣因子表示注重当下收益，且 $\gamma \le 1$ 。动态规划的目的是选择一个控制序列 $u (i), i = k, k + 1, ...$ 使得公式（2）中定义的函数 $J$ (即代价)最小化。

自适应动态规划的基本结构如图1所示（虚线表示更新网络的意思）：

图1 ADP结构示意图

2、ADP的基本原理

2.1 评价网络

评价网络的输出 $\hat J$ 是对由式（2）给出的函数 $J$ 的估计。这可以通过随着时间最小化下式的误差来实现。
$\begin{gather} \begin{aligned} \left\| {{E_c}} \right\| = \sum\limits_k {{E_c}(k)} = \frac{1}{2}\sum\limits_k {{{[\hat J(k) - U(k) - \gamma \hat J(k + 1)]}^2}} \end{aligned}\end{gather}$ 式中， $\hat J(k) = \hat J[x\left( k \right),u\left( k \right),k,{W_c}]$ ， $W_c$ 代表评价网络的参数。函数 $U(k) = x{(k)^T}Qx(k) + u{(k)^T}Ru(k)$ 是与式（2）中的效用函数完全一样的效用函数，注意 $U (k)$ 是 $k$ 时刻一个时刻的效用函数，不是 $k$ 时刻到无穷时刻的累加。当对于所有的 $k$ 都有 ${E_c}(k) = 0$ 时，式（3）意味着
$\begin{gather} \begin{aligned} \begin{array}{l} \hat J(k) = U(k) + \gamma \hat J(k + 1)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = U(k) + \gamma [\hat J(k + 1) + \gamma \hat J(k + 2)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = .....\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum\limits_{i = k}^{} {{\gamma ^{i - k}}U(i)} \end{array} \end{aligned}\end{gather}$ 式（4）与式（2）中定义的代价函数完全一样。因此，最小化由式（3）定义的误差函数,可以获得一个训练好的神经网络，该网络的输出 $\hat J$ 是式(4.2)中定义的代价函数 $J$ 的一个估计。

2.2 执行网络

执行网络的训练是通过使用控制信号 $u(k) = u[x(k),k,{W_a}]$ （ $W_a$ 代表执行网络的参数），以最小化 $\hat J(k)$ 为目标。即通过最小化评价网络的输出来训练，将得到个训练过的网络，它将产生一个最优或者次优的控制信号。

二、评价-执行（演员-评论家）网络设计及更新

1、评价网络设计

评价网络是输入当前系统的状态，输出代价值。因此，当系统存在n维状态时，采用具有n个输入神经元，p个隐藏层神经元和1个输出神经元的结构。n个输入是状态向量的n个分量。输出是与输入状态对应的最优性能指标的估计。评价网络的隐藏层采用双极性 sigmoidal函数（也可以采用其他的激活函数），输出层采用线性函数purelin。评价网络结构如图2所示。
在这里插入图片描述

图2 评价网络结构图

评价网络的训练仍然由正向的计算和反向的误差传播过程组成。评价网络的正向计算过程为：
$\begin{gather} \begin{aligned} {c_{h1j}}(k) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\hat x}_i}(k)}\cdot {W_{c1ij}}(k),\ \ \ \ \ \ j = 1,2,...,p \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} {c_{h2j}}(k) = \frac{{1 - {e^{ - {c_{h1j}}(k)}}}}{{1 + {e^{ - {c_{h1j}}(k)}}}},\ \ \ \ \ \ j = 1,2,...,p \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} \hat J(k) = \sum\limits_{j = 1}^p {{c_{h2j}}(k)} \cdot {W_{c2j}}(k) \end{aligned}\end{gather}$ 式中， ${c_{h1j}}(k)$ 为评价网络隐藏层第j个节点的输入； ${c_{h2j}}(k)$ 为评价网络隐藏层第j个节点的输出。评价网络的训练同样采用梯度下降法，通过最小化下式定义的误差来实现：
$\begin{gather} \begin{aligned} \left\| {{E_c}} \right\| = \sum\limits_k {{E_c}(k)} = \frac{1}{2}\sum\limits_k {e_c^2(k)} \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} e_c^{}(k) = \hat J(k) - U(k) - \gamma \hat J(k + 1) \end{aligned}\end{gather}$ 评价网络权值更新推导如下:
① $W_{c2}$ （隐藏层到输出层的权值矩阵）：
$\begin{gather} \begin{aligned} \begin{array}{l} \Delta {W_{c2j}}(k) = {l_c}(k)\left[ { - \frac{{\partial {E_c}(k)}}{{\partial {W_{c2j}}(k)}}} \right]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = {l_c}(k)\left[ { - \frac{{\partial {E_c}(k)}}{{\partial \hat J(k)}}\frac{{\partial \hat J(k)}}{{\partial {W_{c2j}}(k)}}} \right]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = - {l_c}(k) \cdot {e_c}(k) \cdot {c_{h2j}}(k)\end{array} \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} \Delta {W_{c2}}(k) = - {l_c}(k) \cdot {e_c}(k) \cdot c_{h2}^T(k) \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} {W_{c2}}(k + 1) = {W_{c2}}(k) + \Delta {W_{c2}}(k) \end{aligned}\end{gather}$
② $W_{c1}$ （输入层到隐藏层的权值矩阵）：
$\begin{gather} \begin{aligned} \begin{array}{l} \Delta {W_{c1ij}}(k) = {l_c}(k)\left[ { - \frac{{\partial {E_c}(k)}}{{\partial {W_{c1ij}}(k)}}} \right]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = {l_c}(k)\left[ { - \frac{{\partial {E_c}(k)}}{{\partial \hat J(k)}}\frac{{\partial \hat J(k)}}{{\partial {c_{h2j}}(k)}}\frac{{\partial {c_{h2j}}(k)}}{{\partial {c_{h1j}}(k)}}\frac{{\partial {c_{h1j}}(k)}}{{\partial {W_{c1ij}}(k)}}} \right]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = - {l_c}(k) \cdot {e_c}(k) \cdot {W_{c2j}}(k) \cdot \frac{1}{2}\left[ {1 - {c_{h2j}}^2(k)} \right] \cdot {{\hat x}_i}(k) \end{array} \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} \Delta {W_{c1}}(k) = - \frac{1}{2} \cdot {l_c}(k) \cdot {e_c}(k) \cdot {{\hat x}^T}(k) \times \left\{ {W_{c2}^T(k) \otimes \left[ {1 - {c_{h2}}(k) \otimes {c_{h2}}(k)} \right]} \right\} \end{aligned}\end{gather}$ $\begin{gather} \begin{aligned} {W_{c1}}(k + 1) = {W_{c1}}(k) + \Delta {W_{c1}}(k) \end{aligned}\end{gather}$

2、执行网络设计

执行网络采用具有n个输入神经元，q个隐藏层神经元和m个输出神经元的结构。n个输入分别是体系在k时刻的状态向量 $x (k)$ 的n个分量。m个输出则是与输入状态 $x (k)$ 对应的控制向量 $u (k)$ 的m个分量。动作网络的隐藏层采用双极性sigmoidal函数，输出层采用线性函数purelin。动作网络结构如图3所示：

图3 执行网络结构图

三、基于matlab神经网络工具箱例子完成

例：我们考虑以下的离散线性系统：
$\begin{gather} \begin{aligned} x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k} \end{aligned}\end{gather}$ 其中， $x_{k}=[x_{1k}, x_{2k}]^T$ 并且 $\in R^1$ ，A矩阵为[ 0 0.1; 0.3 -1 ]，B矩阵为[ 0; 0.5]，初始状态 $x_{0}=[1, -1]^T$ 。代价函数指标用公式（2），即 $U(x_k, u_k) = x_k^TQx_k + u_k^TRu_k$ ，其中 $Q = I$ , $R = 0.5 I$ , $I$ 为单位矩阵。