挖坑待补。
\(\mathbf{N}\) 态：当前手胜利的局面。
\(\mathbf{P}\) 态：当前手失败的局面。
K-Nim 游戏
描述
有 \(n\) 堆石子，先手和后手轮流取，每次选择 \(1\sim k\) 堆，每堆取走至少一个，不能操作者败。
解法
设 \(a_{i,j}\) 表示第 \(i\) 堆石子数量第 \(j\) 位二进制的值，若 \(\forall j,\sum_i a_{i,j}\equiv 0 \pmod{k+1}\)，则先手必败。
证明：
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记 \(\forall j,\sum_i a_{i,j}\equiv 0 \pmod{k+1}\) 为条件 \(A\)。
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最终的 \(\mathbf{P}\) 态满足条件 \(A\)，因为 \(a_i\) 全为 \(0\)。
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对于任意一个 \(\mathbf{N}\) 态不满足条件 \(A\)，考虑 \(\mathrm{P}\) 态当前手取的石子堆二进制最高位，这一位必然发现改变，改变值就是取了多少堆有这个最高位的，如果这一位在 \(\mathbf{N}\) 态中仍然为 \(\bmod (k+1)=0\)，那么说明取了 \(k+1\) 堆石子，不符合题意。
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考虑 \(\mathbf{N}\) 态当前手怎么取，同理只需要让最高位的和对应的若干堆全部变成 \(0\)，此时这些堆的物品个数的最高位的 \(1\) 可以任意下放到低位，和别的凑成 \(\bmod(k+1)=0\)，即可让下一手变成 \(\mathbf{P}\) 态。
