P3623 免费道路 - Kruskal

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P3623 免费道路

题意

给定无向图及其权值 \(0/1\)，求权值和为 \(n-k-1\) 的生成树。

思路

令鹅卵石为 \(1\)，则为求权值和为 \(k\) 的生成树。分类讨论后易得有些权值为一的边不能不放，他们关乎图的联通性。所以我们先求出这些边，即先作一遍边权为 \(0\) 的生成树，然后求出必须的权为 \(1\) 的边。

然后的权为 \(1\) 的边就可一随意摆放，即在必须的 \(1\) 填上后，再将边权和填到 \(k\)，最后用 \(0\) 边保证图联通。

无解的情况：

1. 边权和小于 \(k\)。
2. 边权和等于 \(k\)，但图不连通。
3. 边权和大于 \(k\)，但图连通。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
constexpr int maxn = 2e4+10;
constexpr int maxm = 1e5+10;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;typedef struct edge
{int x,y,w;
}edge;int n,m,k;
edge edges1[maxm];// erluan shi
edge edges0[maxm];// shuini
int id0,id1,idx;
edge need[maxn];int fa[maxn];void init()
{for(int i=1;i<=n;++i){fa[i]=i;}
}int finr(int x)
{return fa[x]==x ? x : fa[x]=finr(fa[x]);
}bool kruskal1()// 找出必须的鹅卵石路
{init();int cnt=0;for(int i=1;i<=id0;++i){int xr=finr(edges0[i].x);int yr=finr(edges0[i].y);if(xr!=yr){++cnt;fa[xr]=yr;}if(cnt>=n-1){break;}}for(int i=1;i<=id1;++i){int xr=finr(edges1[i].x);int yr=finr(edges1[i].y);if(xr!=yr){++cnt;fa[xr]=yr;need[++idx]=edges1[i];edges1[i].w=-1;}if(cnt>=n-1){break;}}if(cnt<n-1 || idx>k){return 0;}return 1;
}bool kruskal2()
{init();int cnt1=0;int cnt=0;for(int i=1;i<=idx;++i){int xr=finr(need[i].x);int yr=finr(need[i].y);if(xr!=yr){++cnt1;++cnt;fa[xr]=yr;}}for(int i=1;i<=id1 && cnt1<k;++i){if(edges1[i].w==-1){continue;}int xr=finr(edges1[i].x);int yr=finr(edges1[i].y);if(xr!=yr){++cnt1;++cnt;fa[xr]=yr;need[++idx]=edges1[i];}}for(int i=1;i<=id0;++i){int xr=finr(edges0[i].x);int yr=finr(edges0[i].y);if(xr!=yr){++cnt;fa[xr]=yr;need[++idx]=edges0[i];}if(cnt>=n-1){break;}}if(cnt!=n-1 || cnt1!=k){return 0;}return 1;
}signed main()
{#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("cjdl.in","r",stdin);freopen("cjdl.out","w",stdout);#endif // ONLINE_JUDGEscanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);for(int i=1,x,y,w ;i<=m;++i){scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);if(w){edges0[++id0]={x,y,0};}else{edges1[++id1]={x,y,1};}}if(!kruskal1()){printf("no solution\n");return 0;}if(!kruskal2()){printf("no solution\n");return 0;}else{for(int i=1;i<=idx;++i){printf("%lld %lld %lld\n",need[i].x,need[i].y,need[i].w^1);}}return 0;
}