题意：给出一个 \(1,2,3\) 构成的序列，问最多能将其划分出来多少个下标不同的 \((1,2,3)\) 或 \((3,2,1)\)，并给出构造。
做法：
记 \(c_x(l,r)\) 代表 \(x\) 在 \([l,r]\) 中的出现次数，\(c_x(p)\) 表示 \(x\) 在 \([1,p]\) 这个前缀的出现次数。
首先答案不大于 \(\min(c_1(n),c_2(n), c_3(n))\)。
然后考虑，如果我现在确定有了 \(a\) 个 \((1,2,3)\)，\(b\) 个 \((3,2,1)\)，如何判定是否存在一组解。
先不考虑 \(2\) 的位置。一个显然的观察是，我一定只取最前的 \(1,3\) 和最后的 \(1,3\) 去构成。然后发现，我对于 \((1,3)\) 的对是只会有交错区间的形式而不会有嵌套的形式，证明直接分讨即可。
那么现在我们直接确定了有哪些区间，然后我们要对于每个区间去找一个 \(2\) 匹配上得到结果。既然是一个匹配的形式那么考虑 Hall 定理。容易说明，我们其实只用考虑连续有交区间是否合法即可，原因是不交的区间，我们分开他们更容易不满足 Hall 定理。
那么我们记 \(f(l,r)\) 代表区间 \([l,r]\) 中有多少个区间被 \([l,r]\) 包含，\(g(l,r)\) 代表有多少个 \((1,3)\)，\(h(l,r)\) 代表有多少个 \((3,1)\)。那么会有：
第一个是 Hall 定理，后两个柿子是除去不在区间中结果的。
那么把 \(f(l,r)=g(l,r)+g(l,r)\) 带入，就可以解出来 \(a,b,a+b\) 的一个限制。
直接维护前缀的最小值计算一下就可以。
构造就直接贪心构造，每次遇到 \(1/3\) 就加入一个区间，遇到 \(2\) 就把右端点最左的区间给解决即可。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6 + 5;
int n, a[maxn], cnt[4][maxn], mx[3], A = 9e18, B = 9e18, AB = 9e18;
struct node {int l, r;friend bool operator<(node x, node y) {return x.r > y.r;}
} ;
priority_queue<node> q;
vector<int> v[4];
int id[maxn];
signed main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= 3; i++)v[i].push_back(0);for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];for (int j = 0; j < 4; j++)cnt[j][i] = cnt[j][i - 1];cnt[a[i]][i]++;id[i] = cnt[a[i]][i];v[a[i]].push_back(i);}A = B = AB = min(min(cnt[1][n], cnt[2][n]), cnt[3][n]);mx[0] = mx[1] = mx[2] = 9e18;for (int i = 1; i <= n; i++) {mx[0] = min(mx[0], -cnt[2][i - 1] + cnt[1][i - 1]);mx[1] = min(mx[1], -cnt[2][i - 1] + cnt[3][i - 1]);mx[2] = min(mx[2], -cnt[2][i - 1] + cnt[1][i - 1] + cnt[3][i - 1]);A = min(A, mx[0] + cnt[2][i] - cnt[3][i] + cnt[3][n]);B = min(B, mx[1] + cnt[2][i] - cnt[1][i] + cnt[1][n]);AB = min(AB, mx[2] + cnt[2][i] - cnt[1][i] - cnt[3][i] + cnt[1][n] + cnt[3][n]);}AB = min(A + B, AB), A = min(A, AB), B = AB - A;cout << AB << endl;for (int i = 1; i <= n; i++) {if(a[i] == 1) {if(id[i] <= A)q.push(node{i, v[3][cnt[3][n] - id[i] + 1]});}else if(a[i] == 3) {if(id[i] <= B)q.push(node{i, v[1][cnt[1][n] - id[i] + 1]});}else {if(!q.empty())cout << q.top().l - 1 << " " << i - 1 << " " << q.top().r - 1 << endl,q.pop();}}return 0;
}
