DP压缩中的倒序遍历——01背包&子序列计数从二维到一维，倒序遍历是巧合还是必然？

这个联想太敏锐了！它们不是巧合，而是共享同一个核心思路的“同源技巧”——本质都是「一维DP压缩二维DP时，用倒序遍历保护“上一轮的旧状态”」。

第一步：先回顾两个问题的「倒序遍历场景」

场景1：01背包问题（一维DP）

假设题目是“有n个物品，每个物品只能用一次，背包容量为m，求最大价值”，一维DP的核心代码是：

dp = [0]*(m+1)
for i in range(n):  # 遍历每个物品# 倒序遍历容量：从m到当前物品重量for j in range(m, weight[i]-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

• 二维DP定义：dp[i][j] = 前i个物品、容量j时的最大价值；
• 状态转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])（依赖上一行的两个旧值）；
• 倒序原因：避免同一个物品被重复使用（正序会让dp[j-weight[i]]被当前轮次更新，相当于物品用了多次，变成完全背包）。

场景2：子序列计数问题（一维DP）

就是咱们现在讨论的numDistinct，核心代码：

dp = [0]*(m+1)
dp[0] = 1
for i in range(n):  # 遍历s的每个字符# 倒序遍历t的长度：从m到1for j in range(m, 0, -1):if s[i] == t[j-1]:dp[j] += dp[j-1]

• 二维DP定义：dp[i][j] = s前i个字符、t前j个字符的子序列个数；
• 状态转移：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]（依赖上一行的两个旧值）；
• 倒序原因：避免dp[j-1]被当前轮次更新，确保用的是上一轮的旧值。

第二步：两者的核心共性是什么？

1. 先想：两个问题为什么要“压缩成一维DP”？

   • 答案：二维DP的状态转移都只依赖「上一行的旧状态」（01背包依赖dp[i-1][j]和dp[i-1][j-weight[i]]；子序列计数依赖dp[i-1][j]和dp[i-1][j-1]），不需要更前面的行，所以可以用一维数组复用空间。

2. 再想：为什么“正序遍历会出错”？

   • 01背包正序：遍历容量j时，dp[j-weight[i]]会先被当前物品i的更新覆盖（比如j从小到大，先更新j=5，再更新j=8时，dp[8-weight[i]]可能已经是“用了物品i”的新值），导致物品i被重复使用（变成完全背包）；
   • 子序列计数正序：遍历j时，dp[j-1]会先被当前字符s[i]的更新覆盖（比如j从1到m，先更新j=1，再更新j=2时，dp[1]已经是“用了s[i]”的新值），导致dp[j]的计算用错了状态。

3. 最后想：倒序遍历是怎么解决问题的？

   • 核心逻辑：倒序遍历会“从后往前更新”，当前要更新的dp[j]所依赖的旧状态（dp[j-weight[i]]或dp[j-1]）还没被当前轮次修改，依然保留着“上一轮（i-1）”的原始值。
   • 形象说：就像你要修改一本笔记本的内容，又不能擦掉之前的记录，所以从最后一页往前改——改后面的页时，前面的旧记录还在，能正常参考。

第三步：对比表——让共性和差异更清晰

对比维度	01背包问题（一维DP）	子序列计数问题（一维DP）
二维DP依赖的旧状态	dp[i-1][j]（不用当前物品）、dp[i-1][j-weight[i]]（用当前物品）	dp[i-1][j]（不用当前字符）、dp[i-1][j-1]（用当前字符）
倒序目的	防止当前物品被重复使用（避免完全背包）	防止当前字符被重复匹配（避免用错状态）
核心逻辑	保护上一轮的旧状态不被当前轮次覆盖	保护上一轮的旧状态不被当前轮次覆盖
遍历顺序依据	从“最大容量”到“物品重量”（避免越界）	从“t的最大长度”到“1”（避免越界）

关键结论：两者的倒序遍历是「同一技巧的不同应用」——只要是「二维DP压缩成一维DP，且当前状态依赖上一轮的旧状态」，就需要用倒序遍历保护旧状态，避免错误覆盖或重复使用。

第四步：延伸思考——什么时候不需要倒序？

反过来想，就能更确认这个技巧的核心：

• 完全背包问题（物品可重复使用）：一维DP是正序遍历容量——因为它的状态转移依赖「当前轮次的新状态」（dp[j-weight[i]]可以是已经用了当前物品的新值，正好对应“重复使用”）；
• 子序列计数如果是“允许字符重复匹配”（比如s的同一个字符可以匹配t的多个字符）：也不需要倒序，但这道题的子序列要求“字符相对位置不变”，不能重复用s的同一个字符匹配t的多个字符，所以必须倒序。

总结：不是巧合，是通用技巧

你之所以会联想到背包问题，是因为你已经敏锐地捕捉到了「一维DP压缩时，状态依赖关系对遍历顺序的影响」——这是动态规划中的一个通用核心技巧：

当用一维DP压缩二维DP时：

1. 如果当前状态依赖「上一轮的旧状态」→ 倒序遍历（保护旧状态）；
2. 如果当前状态依赖「当前轮的新状态」→ 正序遍历（允许复用新状态）。

所以，这两个问题的倒序遍历不是巧合，而是对同一个技巧的不同应用——背包问题是“物品不能重复用”，子序列计数是“字符不能重复匹配”，本质都是“需要保护上一轮的旧状态”，所以都用了倒序遍历。