洛谷 P4577

题面太屎了。

给定一棵大小为 \(n\) 的树，每个节点有权值 \(a_i\)，问最多能选出多少个节点，使得若 \(v \in subtree_u\)，则 \(a_v \ge a_u\) 成立。

\(n \le 2 \times 10^5\)。

这个问题丢到序列上就是 \(LIS\) 了，现在被放到了树上。

二分的做法不太好做，合并子树不好搞。考虑用树状数组/线段树优化的解法。

令 \(dp_{u, i}\) 表示 \(u\) 的子树内选出的集合中 \(a_{\min} = i\) 的答案。合并子树可以使用线段树合并。具体地， 若 \(u, v\) 合并，那么 \(dp_{v, j}(j \ge i)\) 是可以贡献到 \(dp_{u, i}\) 的，所以合并时要记录一个 \(pu, pv\) 分别表示一个子树对另一个子树的贡献，不能合并完再算贡献，也不能预先算好（因为不知道下面合并时用的是线段树 \(u\) 中的节点还是 \(v\) 中的）。可以看代码。

时间复杂度：\(O(n \log V)\)。

思路还是比较自然，就是合并时容易搞错顺序。

写的时候一直尝试合并儿子前或者后再加上贡献，发现都有问题。只能把贡献下传下去算。

void update(int x, int k) {if (x) tr[x] += k, tag[x] += k;
}int Merge(int u, int v, int l, int r, int pu, int pv) { // 区间 [l, r]，合并 u, v。// 若 u, v 皆空显然是 0if (!u) {update(v, pv); return v;}if (!v) {update(u, pu); return u;}if (l == r) { // 叶子节点。tr[u] = max(pv, tr[u]) + max(pu, tr[v]); // max(pv, tr[u]) 表示 u 这边选择一个 [l, V] 的，另一边同理。最小值不是 u 也没关系，反正也会算到。return u;}int mid = (l + r) >> 1; Pushdown(u), Pushdown(v);son[u][0] = Merge(son[u][0], son[v][0], l, mid, max(pu, tr[son[v][1]]), max(pv, tr[son[u][1]])); // 更新 pu, pv。右边的可以向左边的贡献。son[u][1] = Merge(son[u][1], son[v][1], mid + 1, r, pu, pv);tr[u] = max(tr[son[u][0]], tr[son[u][1]]);return u;
}

似乎把状态设计成最小值 \(\ge i\) 更好搞些，但无所谓了。