CF1905F
首先判断特殊情况：\(\forall i,p_i=i\) 答案一定是 \(n-2\)。然后考虑一个位置如果已经满足条件我们先统计到答案中，对于不满足条件的位置，考虑去进行交换的贡献。如果存在一个位置满足 \(p_i=i\) 并且前面只有一个数 \(x>i\) 那么我们换掉这个数就可以让答案 +1，如果 \(p_i\neq i\)，那么我们就看把 \(p_i\) 放回原位能否让答案 +1。这样的交换种类是 \(\mathcal O(n)\) 的，可以提前预处理一些简单的数组辅助更新答案。
CF1891E
一眼题，考虑贪心。如果要改变一个数那么一定是变成 0 最优。我们考虑一定是去改变相邻互质的数，现在需要决策的是改变顺序与改变谁。考虑如果存在 \(i\) 满足 \(a_{i-1}\perp a_i,a_i\perp a_{i+1},a_{i-1}\neq1,a_i\neq1,a_{i+1}\neq1\) 那么我们操作 \(i\) 后就会消掉 2 的代价，于是考虑先去干掉这类位置。对于剩下的如果是 \(x\perp y,x\neq1,y\neq1\) 那么每次我们只能干掉 1 的代价。但是注意到如果有形如 \(11\) 的东西我修改一次貌似是不行的，必须要两次才能干掉 1 个，但是如果是 1 的连续段，假设段长为 \(\text{len}\) 并且左右都有数字那么实际只需要 \(\text{len}\) 次就能干掉 \(\text{len}+1\)，于是这种东西也能多省一次操作，我们考虑将合法的 1 的连续段按段长排序处理，剩下来的操作就留给普通的修改即可。
子序列 Subsequences
首先我们可以思考给定一个串如何求本质不同子序列数，这个是子序列自动机，也可以直接 dp 解决。设字符集大小为 \(\sum\)，考虑设 \(f_{i},i\in[1,\sum]\) 表示以第 \(i\) 个字符结尾的子序列数量，转移显然。发现如果串长限制在 1000 的时候其最多包含的本质不同子序列远大于给定的 \(n\) 于是题目一定有解。更极端的，我们考虑压缩字符集大小，只考虑字符集为 \(\{0,1\}\) 的情况。可以发现在此限制下本质不同子序列的数量是类似斐波那契数列一样增长的，所以我们可以只通过两个字符构造出合法的串。
现在考虑新的限制下的 dp，设 \(f_0\) 表示以 \(0\) 结尾的本质不同子序列数量，\(f_1\) 类似定义即可。转移很简单，就是 \(f_0\leftarrow f_0+f_1+1,f_1\leftarrow f_1+f_0+1\)。最后答案就是 \(f_0+f_1\)。为了让形式好看，我们令 \(f_0=f_0+1,f_1=f_1+1\)，然后我们就有了新的式子：\(f_0=f_0+f_1,f_1=f_0+f_1,\text{ans}=f_0+f_1-2\)。
现在已知的是最后 \(\text{ans}\) 的值，我们只需要知道 \(f_0,f_1\) 是怎么推过来的就可以倒推构造出合法的串了，但是现在问题就在如何确定 \(f_0,f_1\)。对于一组合法的 \(f_0,f_1\) 我们只知道需要满足 \(f_0+f_1=\text{ans}\)，除此外啥都不知。换句话来说，题目对于 \(f_0,f_1\) 的限制异常宽松，所以可以考虑随机化直到找到合法的串为止，对于一组随机到的 \(f_0,f_1\) 我们需要满足他们辗转相减的次数 \(\le1000\)，并且最后的值均为 1 即可。判断是否合法只需要用辗转相除法判断次数即可，单次复杂度是 \(\mathcal O(\log k)\) 的。
狭义线段树
看到这个题最初的想法一定是考虑把贡献全部扔到叶子上，于是对于二三操作就可以直接线段树，但是一操作貌似是不能直接做的，它是一个子树加和若干单点加的形式，考虑如何将其贡献到叶子。假设对于一个点 \(x\) 我们需要进行子树加 \(y\)，考虑其影响的是它子树中的所有叶子。设 \(x\) 深度为 \(\text{dep}_x\)，对于一个叶子节点 \(u_i\) 的深度为 \(d\)，那么 \(x\) 对于 \(u_i\) 的贡献就是 \((d-\text{dep}_x+1)\times y\)，因为从叶子到子树根的链上每个点都要做贡献。我们可以借助原来线段树的形态，在当前点打标记处理。我们考虑拆开上述贡献，变成 \(d\times y+(1-\text{dep}_x)\times y\)，那么我们可以用两个标记分别维护两类贡献然后合起来即可。对于子树的单点加我们就直接在 \(x\) 打一个加法标记即可。
于是这道题的本质就是一个线段树加法的板子然后维护了两种标记，修改操作我们可以按照上述方式操作，找修改区间的时候考虑借助线段树原来的形态，假设我们递归到当前点 \(x\)，如果还要递归，考虑左子树的最大节点编号与修改区间的大小关系即可。因为修改的编号是连续的，那么对应在线段树上的区间也会是连续的。查询就正常查即可。时间复杂度是 \(\mathcal O(n\log n)\) 的。
