题目描述
小 L 是学校算法协会的成员。在今年的学校社团招新中，小 L 一共招收了 \(n\) 个新成员，其中 \(n\) 为偶数。现在小 L 希望将他们分到协会不同的部门。
算法协会共设有三个部门，其中第 \(i\) (\(1 \leq i \leq n\)) 个新成员对第 \(j\) (\(1 \leq j \leq 3\)) 个部门的满意度为 \(a_{i,j}\)。定义一个分配方案的满意度为所有新成员对分配到的部门的满意度之和，也就是说，若将第 \(i\) (\(1 \leq i \leq n\)) 个新成员分配到了第 \(d_i \in \{1,2,3\}\) 个部门，则该分配方案的满意度为 \(\sum_{i=1}^{n} a_{i,d_i}\)。
小 L 不希望某一个部门的新成员数量过多。具体地，他要求在分配方案中，不存在一个部门被分配多于 $$ 个新成员。你需要帮助小 L 求出，满足他要求的分配方案的满意度的最大值。
输入格式
本题包含多组测试数据。
输入的第一行包含一个正整数 \(t\)，表示测试数据组数。
接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：
- 第一行包含一个正整数 \(n\)，表示新成员的数量。
- 第 \(i+1\) (\(1 \leq i \leq n\)) 行包含三个非负整数 \(a_{i,1}, a_{i,2}, a_{i,3}\)，分别表示第 \(i\) 个新成员对第 \(1,2,3\) 个部门的满意度。
输出格式
对于每组测试数据，输出一行一个非负整数，表示满足小 L 要求的分配方案的满意度的最大值。
输入输出样例 #1
输入 #1
3
4
4 2 1
3 2 4
5 3 4
3 5 1
4
0 1 0
0 1 0
0 2 0
0 2 0
2
10 9 8
4 0 0
输出 #1
18
4
13
说明/提示
【样例 1 解释】
该样例共包含三组测试数据。
对于第一组测试数据，可以将四个新成员分别分配到第 \(1,3,1,2\) 个部门，则三个部门的新成员数量分别为 \(2,1,1\)，均不超过 \(\frac{4}{2} = 2\)，满意度为 \(4 + 4 + 5 + 5 = 18\)。
对于第二组测试数据，可以将四个新成员分别分配到第 \(1,1,2,2\) 个部门，则三个部门的新成员数量分别为 \(2,2,0\)，均不超过 \(\frac{4}{2} = 2\)，满意度为 \(0 + 0 + 2 + 2 = 4\)。
对于第三组测试数据，可以将两个新成员分别分配到第 \(2,1\) 个部门，则三个部门的新成员数量分别为 \(1,1,0\)，均不超过 \(\frac{2}{2} = 1\)，满意度为 \(9 + 4 = 13\)。
【样例 2】
见选手目录下的 \(\textbf{\textit{club/club2.in}}\) 与 \(\textbf{\textit{club/club2.ans}}\)。
该样例满足测试点 \(3,4\) 的约束条件。
【样例 3】
见选手目录下的 \(\textbf{\textit{club/club3.in}}\) 与 \(\textbf{\textit{club/club3.ans}}\)。
该样例满足测试点 \(5 \sim 8\) 的约束条件。
【样例 4】
见选手目录下的 \(\textbf{\textit{club/club4.in}}\) 与 \(\textbf{\textit{club/club4.ans}}\)。
该样例满足测试点 \(9\) 的约束条件。
【样例 5】
见选手目录下的 \(\textbf{\textit{club/club5.in}}\) 与 \(\textbf{\textit{club/club5.ans}}\)。
该样例满足测试点 \(15,16\) 的约束条件。
【数据范围】
对于所有测试数据，保证：
- \(1 \leq t \leq 5\);
- \(2 \leq n \leq 10^5\)，且 \(n\) 为偶数;
- 对于所有 \(1 \leq i \leq n\)，\(1 \leq j \leq 3\)，均有 \(0 \leq a_{i,j} \leq 2 \times 10^4\)。
| 测试点编号 | \(n=\) | 特殊性质 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | 无 |
| \(2\) | \(4\) | 无 |
| \(3, 4\) | \(10\) | 无 |
| \(5 \sim 8\) | \(30\) | 无 |
| \(9\) | \(200\) | B |
| \(10, 11\) | \(10^5\) | 无 |
| \(12\) | \(10^5\) | A |
| \(13, 14\) | \(10^5\) | B |
| \(15, 16\) | \(10^5\) | C |
| \(17 \sim 20\) | \(10^5\) | 无 |
特殊性质 A：对于所有 \(1 \leq i \leq n\)，均有 \(a_{i,2} = a_{i,3} = 0\)。
特殊性质 B：对于所有 \(1 \leq i \leq n\)，均有 \(a_{i,3} = 0\)。
特殊性质 C：对于所有 \(1 \leq i \leq n\)，\(1 \leq j \leq 3\)，\(a_{i,j}\) 均在 \([0, 2 \times 10^4]\) 中独立均匀随机生成。
思路
第一眼以为是DP，狂推状态转移方程后才发现是贪心。
我们不妨假设，如果小L没有提出每个部门不超过\(\frac{n}{2}\)人的要求的话，那么是不是就是每个人选他个人满意度最高的那一个部门即可。
那么我们也同样的，先按这个计算出理论最大值，再考虑下一步的计算。
同时，我们不难发现，如果有一个部门人数大于\(\frac{n}{2}\)的话，那么有且仅有这个部门大于\(\frac{n}{2}\)人。（类似的分析可参考Luogu P5664[CSP-S2019]Emiya家今天的饭）
又根据某人类智慧定理：如果人多了，那么就要踢人了。
那么踢什么样的人，将Ta踢到哪，就成了我们的问题。
理论最大值情况下，每个人都是选自己满意度最高的部门，那么无论如何踢人，答案一定小于理论最大值，所以我们希望在满足要求的情况下，答案的下降值尽量小。
那不就是把一部分人从Ta最满意的部门踢到次满意的部门吗？
那踢哪一部分人呢？
自然而然就想到：肯定是踢掉最满意的部门与次满意的部门满意度之差更小的人咯！
Bingo！
那么就很好说了，如果理论最大值的情况下都没有一个部门不满足条件，那么理论最大值就是我们要的答案；
否则，令超出人数的部门为\(k\)，找到所有在理论最大值情况下隶属于\(k\)部门的人，记录他们每人最满意的部门与次满意的部门满意度之差，将其排序，从小到大用理论最大值依次减去它们，直到该部门人数恰好为\(\frac{n}{2}\)，即可得到答案。
有人会问：那怎么保证踢出去的人不会又形成一个部门的人数大于\(\frac{n}{2}\)的情况吗？
当然不会！
既然我们在\(k\)部门里留下了恰好\(\frac{n}{2}\)个人，那么根据抽屉原理：假设其他人都在另外的两个部门中的同一个部门，那人数最多也才\(\frac{n}{2}\)个人，也是满足条件的，因此上述问题不存在。
代码实现
思路分析完了，话不多说，上代码！
以下代码已通过Luogu民间数据测试。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[100005][4],s[100005],t[100005],n,T,len,ans,c[100005],k,cnt[4];
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>T;while(T--){len=0;ans=0;memset(cnt,0,sizeof cnt);cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i){s[i]=1;t[i]=0;cin>>a[i][1]>>a[i][2]>>a[i][3];if(a[i][s[i]]<a[i][2])t[i]=s[i],s[i]=2;if(a[i][s[i]]<a[i][3])t[i]=s[i],s[i]=3;if(t[i]==0){if(a[i][2]>a[i][3])t[i]=2;else t[i]=3;}ans+=a[i][s[i]];cnt[s[i]]++;}if(cnt[1]<=n/2&&cnt[2]<=n/2&&cnt[3]<=n/2)cout<<ans<<endl;else{k=1;if(cnt[k]<cnt[2])k=2;if(cnt[k]<cnt[3])k=3;for(int i=1;i<=n;++i){if(s[i]==k)c[++len]=a[i][s[i]]-a[i][t[i]];}sort(c+1,c+1+len);for(int i=1;i<=cnt[k]-n/2;++i){ans-=c[i];}cout<<ans<<endl; }}return 0;
}
警钟长鸣
安全AC千万条，防止爆零第一条。
数据多测不清空，十年OI一场空。
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