喵喵喵 I

COMC 2025

填空压轴：

假设两个多项式 \(p(x)=\sum_{i=0}^{100}a_ix^i,q(x)=\sum_{i=0}^{100}b_ix^i\)，并且 \(a\) 和 \(b\) 满足存在正整数 \(j,k\in[0,100]\)，满足 \(\forall i\in[0,100]\cup\mathbb{Z},b_i=\left\{\begin{aligned}&a_i,\text{if }i\neq j,i\neq k\\&a_k,\text{if }i=j\\&a_j,\text{if }i=k\end{aligned}\right.\)。求 \(p(x)=q(x)\) 的根的数量的期望值。

Solution.

无视 \(a_j=a_k\) 的情况。对方程进行简化，可以得到 \(x^j-x^k=0\)。

注意到根可能是 \(0,\pm1\)。分别计算概率再使用线性概率即可。

---

解答题第三题：

定义一个数 \(N\) 为“移位数”，当且仅当可以找到正整数 \(d>1\)，满足 \(dN\) 经过循环移位可以变成 \(N\)。

例 1：\(N={\color{red}1}42857,d=3,dN=42857{\color{red}1}\)

例 2：\(N={\color{red}15}7894736842105263,d=5,dN=789473684210526{\color{red}15}\)

(1) 证明：所有的“移位数”都可以被 3 整除。

(2) 证明：一个“移位数”有无限个倍数也是“移位数”。

(3) 求出 \(10^{15}\) 内所有 \(dN\) 移动 1 位即可变成 \(N\) 的 \(N\)（例如 \(142857\)）。

自己出的（4）证明：设 \(n\) 为 \(\lfloor\log_{10}{N}\rfloor+1\)（即 \(N\) 的位数）。那么 \(N\) 是“移位数”当且仅当：

1. \(n+1\) 是一个素数；
2. \(10\) 是 \(n+1\) 的一个原根；
3. \(\frac{10^n-1}{n+1}|N\)。

也就是说，从一个满足条件 1 和 2 的 \(n\) 可以生成很多个 \(N\)。

Solution.

(1) 只要证明所有的“移位数”都可以被 \(9\) 整除即可。设两部分的位数的 \(\gcd\) 为 \(n\)，则对等式进行 \(\bmod 10^n-1\) 可以得到 \(d\equiv1\pmod{10^n-1}\) 或 \(N\equiv0\pmod{10^n-1}\)。前者不可能，后者直接得到结论。

(2) 不会做。

(3) 对 \(d\) 进行分类讨论。\(d>5\) 直接不用考虑，\(d=2,3,4,5\) 分别枚举一下即可。最终结果只有 \(142857\) 和 \(142857142857\)。

(4) 不会做。使用该结论可以立即得到 (1)(2)。