机制设计 (mechanism design)：
- 有 \(n\) 个 agent，它们各自 私有 一个代表喜好的参数 \(\theta_i\)，称为 type。\(i\) 所有可能 type 的集合被记作 \(\Theta_i\)，其是 公开 的。
- 这些 agent 需要共同作出一个决策 \(a\in A\)。
- 第 \(i\) 个 agent 对决策 \(a\) 的评价可以用一个 效用函数 (utility function) \(u_i(\theta_i,a)\) 描述。效用函数是 公开 的——但是 \(\theta_i\) 却不是。这意味着其它人只能知道 \(u_i(\cdot,a)\)，但不知道它具体是哪一个。
- 一个 机制 (mechanism) 描述 agent 如何共同作出决策。每个 agent 需要公布一个 行为 (action) \(m_i\)，且每个 agent 有一个 公开 的备选行为集合 \(M_i\)。机制是一个 结果函数 (outcome function) \(\phi(m_1,\dots,m_n)\in A\)，描述从行为得出决策的过程。确定性机制 返回确定的决策，非确定性机制 返回决策上的概率分布。
综上，一个机制设计问题可以用以下元组描述：
并要求设计公开的机制 \(\phi\) 与备选行为集合 \(\cur{M_i}\)。
教科书上还有一个公开的 \(\Theta_1\times\Theta_2\times\dots\times\Theta_n\) 上的分布，描述了所有 type 组合的出现概率，这个是 公开 的——私有的是每个人观测到的 \(\theta_i\)。不过这个似乎不重要。
下一步就是衡量机制的好坏。
教科书上的方式是先定义无机制时的 Pareto 最优。但是似乎绕开直接定义也是合法的。
定义某种机制下，所有人的行为 \(\cur{m_i^*}\) 处于 占优策略均衡 ((Weak) Dorminant Strategies Equilibrium, DSE)，如果对于所有 agent，不管其它人的策略如何，其策略总是最优的。即，
DSE 不一定意味着总效用最大——参考囚徒困境。
处于 Nash 均衡 (Nash Equilibrium)，如果对于所有 agent，只要其它人策略不变，其策略就是最优的。即，
NE 弱于 DSE，因此更不容易最大化总效用了。当然，其更弱的条件也使得其更容易存在。具体地，有如下定理：
Nash 定理：所有有限游戏必然存在 Nash 均衡（可能是混合策略均衡，即每个人独立从某个概率分布中选取行为）。
如何最大化总效用？可以定义数个效用评估函数，诸如：
- 功利福利 (Utilitarian Welfare)：\(f(\theta)=\arg\max\limits_{a\in A}\sum\limits_iu_i(\theta_i,a)\)。
- 加权功利福利 (Weighted Utilitarian Welfare)：\(f(\theta)=\arg\max\limits_{a\in A}\sum\limits_iw_i\cdot u_i(\theta_i,a)\)。
- 对数福利 (Log Welfare)：\(f(\theta)=\arg\max\limits_{a\in A}\prod\limits_iu_i(\theta_i,a)=\arg\max\limits_{a\in A}\sum\limits_i\log u_i(\theta_i,a)\)。
但是这些东西都是人为定义的。我们事实上考虑的是某种 type 序列 \(\cur{\theta_i}\) 下的 Pareto 最优 (Pareto Optimal) 结果 \(a^*\)，即不存在另一种结果，使得所有人效用均不降的同时，有人的效用上升了。即，不存在 \(a\in A\) 使得
注意，此处的定义很严格，\(a\) 是任选的——尽管有可能在该机制下，其不可能产生。
一个机制 \(\phi\) 使用占优策略实现了 Pareto 最优 (Implements Pareto Optimal outcomes in dominant strategies)，如果不论所有 agent 私有的 type 序列 \(\cur{\theta_i}\) 是什么，都存在一组该场景下的 DSE \(\cur{m_i}\)，其对应的结果 \(\phi(\cur{m_i})\) 是 Pareto 最优。
我们关心的是如下被称作 单向匹配 (One-Sided Matching) 的问题：
- 有 \(n\) 个 agent 和 \(n\) 个竞争性的资源。
- 决策 \(\Pi\) 是二者间的匹配。
- type \(\theta_i\) 描述了被分配到每个资源时的效用：\(\theta_{ij}\) 即为 agent \(i\) 被分配到资源 \(j\) 时的效用。可以认为所有资源的效用两两不等。
考虑这个问题是的一种确定性机制 序列独裁 (Serial Dictatorship)：
- 每个人可选的行为集合，是公布其喜好序列。（其公布的序列可以不同于其真实喜好。）
- 对于 确定 且 公开 的排列 \(\pi\)，按照这一顺序，为每个人分配在其公布的喜好序列中，其最偏好且未被占用的资源。
定理：
- 此时「所有人如实汇报其喜好序列」是一种 DSE。
- 此时处于 Pareto 最优。
- 不管前面的人怎么排，轮到某个人时，这必然能让它取得它最心仪的资源。
- 假如存在一组严格偏序它的排列，则在两个排列第一处不同处，即可找到矛盾。
定理：在单向匹配问题中，所有确定性且满足某些性质的使用占优策略实现 Pareto 最优的机制，都与序列独裁机制等价（即，存在一个序列独裁的 \(\pi\)，使得二者完全等价）。接下来的所有内容都是在证明这个定理。
首先，有一个针对一切机制设计问题（而非仅针对单项匹配）成立的定理，即 显示原理 (Revelation Principle)。先来表述之。
定义：直接机制 (Direct Mechanism) 是 \(M_i=\Theta_i\) 的机制，即所有人被要求报告它们的 type（可以说谎）。上述序列独裁即是单向匹配中的一种直接机制。
定义：一个直接机制是 激励相容 (Incentive Compatible, IC) 或称 防策略 (Strategyproof) 的，如果真实报告它们的 type 是一个 DSE。顾名思义，其激励所有人诚实，也即防止所有人的策略。
显示原理：如果一个机制 \(\phi(m_1,\dots,m_n)\) 使用占优策略实现 Pareto 最优，那么存在一组等价的激励相容策略 \(\phi'(\theta_1,\dots,\theta_n)\)。
首先，在原始机制下，每种 \(\cur{\theta_i}\) 都对应一种 Pareto 最优的 DSE \(\cur{m_i^*}\)。换句话说，存在一个公开的函数 \(\varphi:\cur{\theta_i}\mapsto\cur{m_i^*}\)。
那么新的 \(\phi'\) 就可以把 \(\varphi\) 当作机制的一部分，令 \(\phi'=\phi(\varphi(\cur{\theta_i}))\)。这样如果如实报告 \(\theta_i\) 并非 DSE，那么其对应的 \(\cur{m_i^*}\) 也就不是 DSE 了。
换句话说，新机制把复杂的行为逻辑「外包」到机制 \(\phi'\) 里面，于是行为集合即可被简化为 \(M_i=\Theta_i\)。
下一步就只需证明如下定理即可证明序列独裁机制的最优性：
定理：在单向匹配问题里，如果「性质足够好的」确定性 IC 机制使用占优策略实现 Pareto 最优，则其等价于序列独裁策略。
首先引入三个新性质。
定义：一个机制是 中立 (neutral) 的，如果它不对某个资源展示出偏好性。即，考虑 \(\varphi(\cur{\theta_i})=a\)，则中立机制满足对于一切资源重排 \(\sigma\)，都有 \(\sigma(a)=\varphi(\cur{\sigma(\theta_i)})\)，其中 \(\sigma(\theta_i)\) 为将第 \(i\) 个人的 type 重排后的结果，而 \(\sigma(a)\) 为将结果 \(a\) 重排后的结果。
定义：一个机制是 无干涉性 (non-bossy) 的，如果任何 agent 都不能通过操作自身行动，来在不改变自身获得的资源的前提下，影响其它 agent 获得的资源。即，对于一切 action 列表 \(\cur{\hat\theta_i}\)（这里加上 hat 表示 action 可以不等于真实获得的 type）和任意 \(i\)，如果 agent \(i\) 希望通过改为采用 action \(\hat\theta_i'\) 来操纵 \(\phi\)，即实现 \(\phi(\cur{\hat\theta_i',\hat\theta_{-i}})\neq\phi(\cur{\hat\theta_i,\hat\theta_{-i}})\)，则必然有 \(\phi(\cur{\hat\theta_i',\hat\theta_{-i}})[i]\neq\phi(\cur{\hat\theta_i,\hat\theta_{-i}}[i]\)，即该操纵反而会影响其自身。
鉴于这个定义的上下文是 IC 机制，所以对 action 的操纵也可以视作直接对 type 的改变。
定义：一个机制是 单调 (monotune) 的，如果对于任何一组原始的 type \(\cur{\theta_i}\) 和其对应决策 \(\phi(\cur{\theta_i})=a\)：
- 对于所有满足以下条件的新 type \(\cur{\theta'_i}\)：
- 条件：对于一切 \(i\) 和资源 \(y\)，如果在 \(\theta_i\) 中 \(a_i\) 胜过 \(y\)，则在 \(\theta'_i\) 中 \(a_i\) 仍然胜过 \(y\)。
- 为方便，使用 \(a_i>_{\theta_i} y\implies a_i>_{\theta'_i} y\) 的记号。
- 则此时仍有 \(\phi(\cur{\theta'_i})=a\)。
换句话说，对于所有仅仅「调高」了所有 agent 对其在原始场合匹配资源的评价的新 type 集合，新 type 上的决策结果均保持不变。
显然，序列独裁机制同时满足上述三种性质。
定理：一个 non-bossy 的 IC 机制是单调的。
如果它并非单调，则存在 \(\cur{\theta_i}\) 和 \(\cur{\theta_i'}\) 满足单调性，但有 \(\phi(\cur{\theta'_i})\neq\phi(\cur{\theta_i})\)。
那么此时直接造一个 Hybrid Argument 类似状物：定义 \(\cur{\theta_i^t}=\begin{cases}\theta_i^t=\theta_i&(i\leq t)\\\theta_i^t=\theta'_i&(i>t)\end{cases}\)，则必然存在 \(t\) 满足 \(\phi(\cur{\theta_i^t})\neq\phi(\cur{\theta_i^{t+1}})\)。
\(\cur{\theta_i^t}\) 和 \(\cur{\theta_i^{t+1}}\) 仅有一处不同，即 \(t+1\) 的切换。于是由 non-bossy 性，必然有 \(\phi(\cur{\theta_i^t})[t+1]\neq\phi(\cur{\theta_i^{t+1}})[t+1]\)。
既然如此，由 IC 性，原本有 \(\phi(\cur{\theta_i^t})[t+1]>_{\theta_{t+1}'}\phi(\cur{\theta_i^{t+1}})[t+1]\)，后来有 \(\phi(\cur{\theta_i^t})[t+1]<_{\theta_{t+1}}\phi(\cur{\theta_i^{t+1}})[t+1]\)——但是这就与 \(\cur{\theta_i}\) 和 \(\cur{\theta_i'}\) 间的单调性矛盾了。反证完毕。
因此我们现在终于可以把前述定理标准化了：
定理：One-Sided Maching 中，neutral、non-bossy 的确定性 IC 机制使用占优策略实现 Pareto 最优，则其等价于序列独裁策略。
这几个定语已经非常强了。
考虑一种特殊的 \(\cur{\hat\theta_i}\)：其中所有 agent 的 type 都相同，对所有资源的偏好均为 \(x_1>x_2>\dots>x_n\)。那么考虑 \(\phi(\cur{\hat\theta_i})\) 下，分到 \(x_i\) 的 agent 是 \(p_i\)，则其就是序列独裁中第 \(i\) 个「独裁者」，即 \(\pi_i=p_i\)。
我们现在希望证明一切 \(\cur{\theta_i}\) 下均有 \(\phi(\cur{\theta_i})=\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})\)。现在考虑另一种特殊的 \(\cur{\bar\theta_i}\)，其中所有 agent 的 type 仍然相同，偏好顺序即为 \(\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})\) 中，第 \(i\) 个「独裁者」获得的物品，即 \(\bar\theta_i=\cur{y_1,\dots,y_n}:y_i=\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})[\pi_i]\)。
\(\cur{\bar\theta_i}\) 是对 \(\cur{\hat\theta_i}\) 的重排。故使用 neutrality，有 \(\phi(\cur{\bar\theta_i})[\pi_i]=y_i=\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})[\pi_i]\)，于是有 \(\phi(\cur{\bar\theta_i})=\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})\)。
最后，证明 \(\cur{\bar\theta_i}\to\cur{\theta_i}\) 是满足单调性的。对于每个 \(i\)，第 \(i\) 个「独裁者」\(\pi_i\) 获得了物品 \(y_i\)。假如不具有单调性，则存在某个 \(j>i\) 使得 \(y_j>_{\theta_{\pi_i}}y_i\)。这就意味着 \(\pi_i\) 会在 \(\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})\) 中被分配到 \(y_j\)，出现矛盾。
所以有 \(\phi(\cur{\theta_i})=\t{SDM}_\pi(\cur{\theta_i})\)，证毕。
