2022HDU多校09
A
Problem
\(T\) 组数据。给定一个长为 \(n\) 的数列 \(a\)，判断是否能将其重排为数列 \(b\) 使 \(b\) 中不存在 \(1 \le i < j < k \le n \and a_{j} - a_{i} = a_{k} - a_{j}\)。如果能，请输出任意满足条件的重排数列 \(b\)。
\(1 \le T \le 25\)，\(1 \le n \le 5000\)，\(1 \le a_{i} \le 10^{9}\)。
Solution
如果一个数出现了三次及以上，判定无解。
否则，按以下方法构造答案：
- 将所有偶数放在前面，所有奇数放在后面。这样偶数与奇数之间不会产生三项等差数列。
- 令 \(a_{i}\) 变成 \(\lfloor \frac{a_{i}}{2} \rfloor\)，递归下去继续分治处理。
- 直到区间长度 \(\le 2\)，停止递归。
更简单的实现方法是：令 \(b_{i} = a_{i} \oplus (2^{30} - 1)\)，对 \(a\) 按 \(b\) 排序，正确性显然。
时间复杂度 \(O(n\log{V})\)。
C
Problem
\(T\) 组数据。定义 \(B(A)\) 表示将数列 \(A\) 经过一次冒泡排序后得到的数列。定义一次操作为选择一段区间循环左移或循环右移一位。现在给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)，\(Q\) 次询问将 \(a[l, r]\) 变成 \(B(a[l, r])\) 的最小操作次数。
\(1 \le T \le 10\)，\(1 \le n, Q \le 10^{5}\)。
Solution
给定的操作其实就是将任何一个数字插到任意位置。
先考虑求出区间 \([1, n]\) 的答案。
记 \(p_{i} = \min\limits_{j > i \and a_{j} > a_{i}}j\)，\(p_{i}\) 可以用单调栈 \(O(n)\) 求出。
记 \(w_{i}\) 表示区间 \([i, n]\) 的答案，则 \(w_{i} = [p_{i} > i + 1] + w_{p_{i}}\)。
套路地，这种跳跃过程可以用倍增优化，从而实现对任意区间 \([l, r]\) 在 \(O(\log{n})\) 的时间内求出答案。
时间复杂度 \(O((n + Q)\log{n})\)。
D
Problem
\(T\) 组数据。给定 \(k\) 个有向图游戏 \((G_{1}, s_{1}), (G_{2}, s_{2}), \dots, (G_{k}, s_{k})\)，其中 \((G_{i}, s_{i})\) 表示在 \(G_{i} = (V_{i}, E_{i})\) 以 \(s_{i} \in V_{i}\) 为起点进行的有向图游戏。在一个有向图游戏中，Alice 先手，Bob 后手，两人均按最优方案移动，无法移动者输。对于多个有向图游戏的并集，两人在每个有向图游戏中同时交替操作，如果存在一个有向图使得其中某人无法移动，则这个人输。
现在 Alice 想要在这 \(k\) 个有向图游戏组成的集合中选择一个非空子集使得她为胜者，求选择的方案数。答案对 \(998244353\) 取模。
\(1 \le T \le 5\)，\(1 \le k \le 10^{6}\)，单组数据满足 \(\sum\limits_{i = 1}^{k}|V_{i}|, \sum\limits_{i = 1}^{k}|E_{i}| \le 2 \times 10^{6}\)。
Solution
对于一个有向图游戏，每个点的胜负状态都是确定的；
而对于多个有向图游戏，如果 \(s_{i}\) 是必胜的，则希望尽量快地获胜；如果 \(s_{i}\) 是必败的，则希望尽量拖延时间。则我们的目的就不仅仅是计算出一个点的状态是必胜还是必败，还要计算出必胜时的最短时间和必败时的最长时间。
考虑一个有向图游戏 \((G, s)\)，记 \(f_{u}\) 表示：
- \(f_{u} = 0\)：点 \(u\) 为起点平局。
- \(f_{u} > 0\)：点 \(u\) 为起点必胜，\(f_{u}\) 表示获胜的最短时间。
- \(f_{u} < 0\)：点 \(u\) 为起点必败，\(-f_{u}\) 表示输掉游戏的最长时间。
下面分析如何求出 \(f\)。
-
不妨建出原图的反图 \(G^{'} = (V^{'}, E^{'})\)。以下过程均在 \(G^{'}\) 上进行。
-
取出 \(G^{'}\) 中所有入度为 \(0\) 的点 \(u\)，初始化 \(f_{u} = -1\)。其它点初始化 \(f_{v} = 0\)。
-
按拓扑序更新 \(f_{v}\)。对于点 \(v\)：
- 如果存在入点 \(u\) 满足 \(f_{u} < 0\)，则 \(v\) 是一个必胜点，\(f_{v} = \min\limits_{(u, v) \in E^{'} \and f_{u} < 0}(-f_{u} + 1)\)。
- 如果所有入点 \(u\) 均满足 \(f_{u} > 0\)，则 \(v\) 是一个必败点，\(f_{v} = \min\limits_{(u, v) \in E^{'}}(-f_{u} - 1)\)。
- 如果所有入点 \(u\) 满足 \(f_{u} \ge 0\) 且存在 \(f_{u} = 0\)，则 \(v\) 是一个平局点，\(f_{v} = 0\)。
- 所有没有被遍历到的点 \(v\) 判不出胜负，\(f_{v} = 0\)。
同时有必要说明以上过程的实现。对于 \(f_v\)，我们只需考虑以下两种情况时的更新：
- 第一次遍历到满足 \(f_{u} < 0\) 的边 \((u, v) \in E^{'}\)，更新 \(f_{v} = -f_{u} + 1\)。
- 遍历完 \(v\) 的入边，不存在 \(f_{u} < 0\) 的边 \((u, v) \in E^{'}\)，更新 \(f_{v} = -f_{u} - 1\)。
利用 \(f\) 的特殊性和广搜的最优性，巧妙地规避了对环的处理。
对每个图独立求出 \(f\) 后，记 \(w_{i}\) 表示第 \(i\) 个有向图游戏中 \(f_{s_{i}}\) 的值。
记集合 \(S_{win} = \{ i | w_{i} > 0 \}\)，\(S_{lose} = \{ i | w_{i} < 0 \}\)。
则一个有向图游戏集合 \(S\) 满足 Alice 必胜，当且仅当 \(\min\limits_{i \in S \and i \in S_{win}}w_{i} < \min\limits_{i \in S \and i \in S_{lose}}(-w_{i})\)。
对 \(S_{win}\) 和 \(S_{lose}\) 排序后容易计算出方案数。注意到由于 \(|w_{i}| \le |V_{i}|\)，因此可以使用桶排在线性时间内解决。
注意，有可能存在 \(w_{i} = 0\)，答案还要乘上系数 \(2^{\sum\limits_{i = 1}^{k}[w_{i} = 0]}\)。
时间复杂度 \(O(\sum\limits_{i = 1}^{k}|V_{i}| + \sum\limits_{i = 1}^{k}|E_{i}|)\)。
F
Problem
\(T\) 组数据。给定一个长为 \(n\) 的数组 \(a\)。\(Q\) 次询问，每次询问给定区间 \((l, r]\) 和一个非负整数 \(x\)：
- 从左往右遍历 \(a(l\dots r]\)，如果 \(x + a_{i} \ge 0\)，则 \(x\) 变为 \(x + a_{i}\)，否则 \(x\) 不变。
求遍历完成后 \(x\) 的值。询问互相独立。
\(1 \le T \le 4\)，\(1 \le n, Q \le 5 \times 10^{5}\)，\(\sum\limits_{i = 1}^{n}|a_{i}| \le 10^{6}\)，\(0 \le x_{i} \le 10^{6}\)。
Solution
由于 \(\sum|a_{i}|\) 较小，因此可以对初始值小的 \(x\) 暴力维护答案。
具体地，开一棵线段树，对每个区间维护值 \(sum, lim\) 和一个 vector 数组 \(vec\)，\(sum\) 表示区间 \(a_{i}\) 之和，\(lim\) 表示区间负数绝对值之和，\(vec\) 的大小为 \(lim\)，\(vec[x](0 \le x < lim)\) 表示以初始值 \(x\) 开始遍历这个区间得到的终值。而如果以初始值 \(y \ge lim\) 遍历这个区间，则终值总是 \(y + sum\)。综上，维护以上信息可使得遍历线段树上一段区间的时间复杂度是 \(O(1)\) 的。这些信息是容易维护的，其中维护 \(vec\) 数组的时间复杂度为 \(O(\sum\limits|a_{i}|\log{n})\)，可以接受。
询问时在线段树上暴力跳 \(O(\log{n})\) 次即可。总时间复杂度为 \(O((n + Q + V)\log{n})\)，其中 \(V = \sum|a_{i}|\)。
tips：传参不要用 SegTree 类型。由于每个节点挂了一个 vector，调用一个节点的复杂度并非 \(O(1)\)。
G
Problem
\(T\) 组数据。给定长度为 \(n\) 的递增数列 \(a\) 和正整数 \(k, r\)，求将这 \(n\) 个数分成 \(k\) 组且同一组中的数两两之间差值不小于 \(r\) 的方案数。答案对 \(998244353\) 取模。
\(1 \le T \le 20\)，\(1 \le k \le n \le 5000\)，\(1 \le r \le 10^{9}\)，\(1 \le a_{1} \le a_{2} \le \dots \le a_{n} \le 10^{9}\)，\(\sum{n} \le 50000\)。
Solution
记 \(f_{i, j}\) 表示考虑前 \(i\) 个人偶分成 \(j\) 组的方案数。
考虑如何从 \(f_{i - 1}\) 转移到 \(f_{i}\)：显然，\(a_{i}\) 不能分到装有 \(a_{k} > a_{i} - r\) 的组。
设 \(w = \sum\limits_{1 \le k < i}[a_{k} > a_{i} - r]\)，则有一个显然但容易被忽略的性质是，这 \(w\) 个 \(a_{k}\) 不能被分到同一个组，即之前分的 \(j\) 个组中必有 \(w\) 个组是不能装 \(a_{i}\) 的，而其它组是都能装 \(a_{i}\)。即如果 \(a_{i}\) 要装进之前的组中，则转移系数是确定的，这是该题最关键的一点。
转移式就简单了：\(f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + f_{i - 1, j} \times \max(0, j - w)\)。
时间复杂度 \(O(n^{2})\)。
H
Problem
现有一张 \(n\) 个点的完全图，点 \(i\) 与点 \(j\) 之间的边权为 \(\gcd(i, j)\)。
\(Q\) 组询问 \((u, v)\)，求 \(u\) 到 \(v\) 的最短路长度即方案数。方案数对 \(998244353\) 取模。
\(2 \le n \le 10^{7}\)，\(1 \le Q \le 50000\)，\(u \neq v\)。
Solution
极端情况：\(u \to 1 \to v\)，长度为 \(2\)。因此任意两点的最短路长度不会超过 \(2\)。
若 \(\gcd(u, v) = 1\)，则仅有 \(u \to v\) 一条最短路，长度为 \(1\)。
否则，最短路长度为 \(2\)，数量为 \([\gcd(u, v) = 2] + \sum\limits_{1 \le k \le n}[\gcd(u, k) = 1][\gcd(v, k) = 1]\)。
下面计算 \(\sum\limits_{1 \le k \le n}[\gcd(x, k) = 1]\)。
但由于 \(x\) 最大范围能达到 \(O(n^{2})\)，而上式的计算是 \(O(\sqrt{x})\) 的，因此单次计算 \(O(n)\)，\(Q\) 组询问下无法接受。
考虑拆解 \(u, v\)，得到 \(u, v\) 的质因数集合 \(S = \{ p_{0}, p_{1}, \dots, p_{m} \}\)。
经典结论，\(|S| = m\) 不会很大，前 \(13\) 个质数的乘积已经超过 \(10^{14}\)，这意味着 \(m \le 12\)。
然后枚举 \(S\) 的子集进行容斥计算出 \(1 \sim n\) 内包含 \(S\) 中的质因数的数的个数 \(w\)，则 \(\sum\limits_{1 \le k \le n}[\gcd(u, k) = 1][\gcd(v, k) = 1] = n - w\)。
我实现的时间复杂度 \(O(Qm2^{m})\)。吐槽：\(998244353\) 就是个幌子。
I
Problem
\(T\) 组数据。给定整数 \(n, l, r, x\)，求所有长度为 \(n\) 且满足以下条件的数列 \(a\) 中：
- \(\forall 1 \le i \le n\)，\(l \le a_{i} \le r\)；
- \(\bigoplus\limits_{i = 1}^{n}a_{i} = x\)
\(\sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}\) 的最大值。如果不存在满足条件的数列 \(a\)，输出 \(-1\)。
\(1 \le T \le 3000\)，\(1 \le n \le 10^{9}\)，\(0 \le l \le r \le 10^{9}\)，\(0 \le x \le 10^{9}\)。
Solution
首先通过分析最优解的结构以缩小问题规模。
如果有解，则最优解中至多有 \(\log{V}\) 个 \(a_{i} \neq R\)。
证明使用反证法：假设存在 \(> \log{V}\) 个 \(a_{i} \neq R\)，则其中一定存在两个元素低位连续的 \(1\) 数量相等，可以将这两个元素同时加一而不改变整体异或和且使 \(\sum{a_{i}}\) 变大。
设 \(f_{i, j, k}\) 表示考虑到第 \(i\) 位（从高到低枚举），有 \(j\) 个数字紧贴下边界 \(L\)、\(k\) 个数字紧贴上边界 \(R\)，且第 \(i\) 位及更高位的异或和恰与 \(X\) 相同的情况下能得到的最大价值（也只考虑第 \(i\) 位及更高位）。
我实现的时间复杂度 \(O(\log^{5}{V})\)。
J
Problem
\(T\) 组数据。给定 \(n\) 个数字 \(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\)，每次可以选两个数字 \(x, y\) 合并成 \(xy + x + y\)。\(n - 1\) 次操作后只剩下一个数字，求这个数的期望值。答案对 \(998244353\) 取模。
\(1 \le T \le 20\)，\(1 \le n \le 500\)，\(0 \le a_{i} < 998244353\)。
Solution
\(c = ab + a + b = (a + 1)(b + 1) - 1\)。
\(cd + c + d = (c + 1)(d + 1) - 1 = (a + 1)(b + 1)(d + 1) - 1\)。
...
由此可见，无论操作顺序如何，最终的值一定是 \(\prod\limits_{i = 1}^{n}(a_{i} + 1) - 1\)。
